Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+ x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直線l：y=﹣ x﹣4與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線y=ax2+ x+c上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點(diǎn)F．

（1）試求該拋物線表達(dá)式；
（2）如圖（1），四邊形PCOF是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），過點(diǎn)P作PH⊥y軸，垂足為H，連接AC．

①求證：△ACD是直角三角形；
②試問當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為何值時(shí)，使得以點(diǎn)P、C、H為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得： ，解得： ，

∴拋物線的表達(dá)式為y= x2+ x﹣4．

（2）

解：設(shè)P（m， m2+ m﹣4），則F（m，﹣ m﹣4）．

∴PF=（﹣ m﹣4）﹣（ m2+ m﹣4）=﹣ m2﹣ m．

∵PE⊥x軸，

∴PF∥OC．

∴PF=OC時(shí)，四邊形PCOF是平行四邊形．

∴﹣ m2﹣ m=4，解得：m=﹣ 或m=﹣8．

當(dāng)m=﹣ 時(shí)， m2+ m﹣4=﹣ ，

當(dāng)m=﹣8時(shí)， m2+ m﹣4=﹣4．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）或（﹣8，﹣4）．

（3）

解：①證明：把y=0代入y=﹣ x﹣4得：﹣ x﹣4=0，解得：x=﹣8．

∴D（﹣8，0）．

∴OD=8．

∵A（2，0），C（0，﹣4），

∴AD=2﹣（﹣8）=10．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，

∴AC2+CD2=AD2．

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．

②由①得∠ACD=90°．

當(dāng)△ACD∽△CHP時(shí)， = ，即 = 或 = ，

解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．

當(dāng)△ACD∽△PHC時(shí)， = ，即 = 或即 = ．

解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．

綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18時(shí)，使得以點(diǎn)P、C、H為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．

【解析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于a、c的方程組，然后解方程組求得a、c的值即可；（2）設(shè)P（m， m2+ m﹣4），則F（m，﹣ m﹣4），則PF=﹣ m2﹣ m，當(dāng)PF=OC時(shí)，四邊形PCOF是平行四邊形，然后依據(jù)PF=OC列方程求解即可；（3）①先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后再求得AC、DC、AD的長，最后依據(jù)勾股定理的逆定理求解即可；②分為△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC兩種情況，然后依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)成比例列方程求解即可
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．