【題目】如圖,已知直線(xiàn)y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A(yíng),B兩點(diǎn),拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上,從點(diǎn)O出發(fā),向點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),點(diǎn)Q在線(xiàn)段AB上,從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)B以 個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)問(wèn):當(dāng)t為何值時(shí),△APQ為直角三角形;
(3)過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸,交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)Q作QF∥y軸,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F,連接EF,當(dāng)EF∥PQ時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(4)設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為M,連接BP,BM,MQ,問(wèn):是否存在t的值,使以B,Q,M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè),B,P為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:∵y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

∴當(dāng)y=0時(shí),x=3,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

當(dāng)x=0時(shí),y=3,即B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),

將A(3,0),B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,

,解得

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+2x+3;


(2)

解:∵OA=OB=3,∠BOA=90°,

∴∠QAP=45°.

如圖①所示:∠PQA=90°時(shí),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則QA= ,PA=3﹣t.

在Rt△PQA中, ,即: ,解得:t=1;

如圖②所示:∠QPA=90°時(shí),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則QA= ,PA=3﹣t.

在Rt△PQA中, ,即: ,解得:t=

綜上所述,當(dāng)t=1或t= 時(shí),△PQA是直角三角形;


(3)

解:如圖③所示:

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),則EP=3﹣t,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3﹣t,t),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3﹣t,﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3),則FQ=3t﹣t2

∵EP∥FQ,EF∥PQ,

∴EP=FQ.即:3﹣t=3t﹣t2

解得:t1=1,t2=3(舍去).

將t=1代入F(3﹣t,﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3),得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,3).


(4)

解:如圖④所示:

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則OP=t,BQ=(3﹣t)

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4).

∴MB= =

當(dāng)△BOP∽△QBM時(shí), 即: ,整理得:t2﹣3t+3=0,

△=32﹣4×1×3<0,無(wú)解:

當(dāng)△BOP∽△MBQ時(shí), 即: ,解得t=

∴當(dāng)t= 時(shí),以B,Q,M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè),B,P為頂點(diǎn)的三角形相似.


【解析】(1)先由直線(xiàn)AB的解析式為y=﹣x+3,求出它與x軸的交點(diǎn)A、與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo),再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式;(2)由直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可知:∠QAP=45°,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則QA= ,PA=3﹣t,然后再圖①、圖②中利用特殊銳角三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程求解即可;(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),則EP=3﹣t,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3﹣t,t),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3﹣t,﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3),則FQ=3t﹣t2 , EP∥FQ,EF∥PQ,所以四邊形為平行線(xiàn)四邊形,由平行四邊形的性質(zhì)可知EP=FQ,從而的到關(guān)于t的方程,然后解方程即可求得t的值,然后將t=1代入即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo);(4)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則OP=t,BQ=(3﹣t) ,然后由拋物線(xiàn)的解析式求得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而可求得MB的長(zhǎng)度,然后根據(jù)相似相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于t的方程,然后即可解得t的值.
【考點(diǎn)精析】利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分;對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)y=ax2+ x+c與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn),與y軸交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直線(xiàn)l:y=﹣ x﹣4與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y=ax2+ x+c上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸,垂足為E,交直線(xiàn)l于點(diǎn)F.

(1)試求該拋物線(xiàn)表達(dá)式;
(2)如圖(1),四邊形PCOF是平行四邊形,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖(2),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸,垂足為H,連接AC.

①求證:△ACD是直角三角形;
②試問(wèn)當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為何值時(shí),使得以點(diǎn)P、C、H為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似?

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(1)求圓柱形容器的高和勻速注水的水流速度;
(2)若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15cm2 , 求“幾何體”上方圓柱體的高和底面積.

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(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=度;

(2)設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β.
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上移動(dòng),則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;

②當(dāng)點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上移動(dòng),則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

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