Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點E在AD邊上，過點E作AB的平行線，交BC于點F，將矩形ABFE繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)，使點F的對應(yīng)點落在邊CD上，點B的對應(yīng)點N落在邊BC上．

（1）求證：BF=NF；

（2）已知AB=2，AE=1，求EG的長；

（3）已知∠MEF=30°，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）EG=；（3）．

【解析】

（1）連結(jié)BE，EN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BE=EN，由∠EFB=90°，根據(jù)等腰三角形底邊的高是底邊中線即可證明BF=NF.（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△NGF≌△HGE，進(jìn)而證明FG=GH，根據(jù)勾股定理求出GE的長即可.（3）根據(jù)EF//CD可知∠MEF=DME=30°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠EMN=90°，進(jìn)而可知∠CNM=30°，設(shè)DE=x，則ME=2x，MD=x，進(jìn)而可求出CM的長，即可求出MN的長，根據(jù)BC=DE+MN即可求出BC的長，進(jìn)而求出答案.

（1）連結(jié)BE，EN，如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BFE=90°，

由旋轉(zhuǎn)得BE=EN，

∴BF=NF；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴BF=AE，EF=AB，

由旋轉(zhuǎn)得EH=EA，

∵BF=NF，

∴EH=NF，

∵∠BFE=∠GHE=90°，∠NGF=∠HGE，

∴△NGF≌△HGE，

∴FG=GH，

設(shè)GE=x，則GF=GH=2﹣x，

由勾股定理得x2﹣（2﹣x）2=1，

解得x=，

∴EG=；

（3）∵EF∥DC，

∴∠DME=∠MEF=30°，

設(shè)DE=x，

∵∠D=90°，

∴ME=DC=AB=2x，DM=x，

∴MC=（2﹣）x，

∵∠NME=90°，∠DME=30°，

∴∠NMC=60°，

∴∠MNC=30°，

∴MN=2MC=2（2﹣）x，

∴BC=AD=DM+MN=2（2﹣）x+x=（5﹣2）x，

∴=．