Question

【題目】如圖，已知直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.

（1）若雙曲線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，求的面積；

（2）過(guò)原點(diǎn)的另一條直線交雙曲線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）將x=4代入一次函數(shù)解析式求出y的值，確定出A的坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；將C縱坐標(biāo)代入反比例解析式求出橫坐標(biāo)，確定出C坐標(biāo)，即CD與OD的長(zhǎng)，三角形AAOC面積=三角形COD面積+梯形AEDC面積-三角形AOE面積，求出即可；

（2）設(shè)，即OM=m，PM=，分兩種情況考慮：若P在A的左側(cè)，如圖所示，作PM⊥x軸，AN⊥x軸，由四邊形APBQ面積為24，且為平行四邊形，得到三角形AOP面積為6，根據(jù)三角形POM面積+梯形ANMP面積-三角形AON面積，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；若P在A的右側(cè)，同理可得P的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4

∴把代入中，得

∴

∵點(diǎn)是直線與雙曲線的交點(diǎn)

∴

∴雙曲線的解析式為

如圖所示，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足為、

∵點(diǎn)在雙曲線上

∴當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵點(diǎn)、在雙曲線上

∴

∴

∴

∵

∴

（2）∵反比例函數(shù)圖像是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形

∴，

∴四邊形是平行四邊形

∴

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（且）

∴

過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足為、

∵點(diǎn)、在雙曲線上

∴

若，如圖所示：

∵

∴

即

∴，（舍去）

∴

若，如圖所示：

∵

∴

即

∴，（舍去）

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或.