Question

【題目】已知正方形ABCD，點M為邊AB的中點．

（1）如圖1，點G為線段CM上的一點，且∠AGB=90°，延長AG、BG分別與邊BC、CD交于點E、F．

①求證：BE=CF；

②求證：BE2=BCCE．

（2）如圖2，在邊BC上取一點E，滿足BE2=BCCE，連接AE交CM于點G，連接BG并延長交CD于點F，求tan∠CBF的值．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2） ．

【解析】【試題分析】

（1）①在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，

因為∠ABG＋∠CBF＝90°，∠ABG＋∠BAG＝90°，根據同角的余角相等，得∠BAG＝∠CBF，利用ASA判定定理得△ABE≌△BCF，根據全等三角形的對應邊相等得：BE＝CF.

②∠AGB＝90°，點M為AB的中點，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得，MG＝MA＝MB，根據等邊對等角得∠GAM＝∠AGM.

因為∠CGE＝∠AGM，等量代換得∠GAM＝∠CGE.

由①可知∠GAM＝∠CBG，則∠CGE＝∠CBG.

又因為∠ECG＝∠GCB，根據兩角對應相等，兩三角形相似得：△CGE∽△CBG，根據相似三角形對應邊成比例得： ，即CG2＝BC·CE.∵MG＝MB，∴∠MGB＝∠MBG.

在正方形ABCD中，因為AB∥CD，根據平行線的性質得∠MBG＝∠CFG.

又因為∠CGF＝∠MGB，等量代換得∠CFG＝∠CGF，根據等邊對等角得CF＝CG.

由①可知BE＝CF，即BE＝CG，故BE2＝BC·CE.

（2）延長AE，DC交于點N.在正方形ABCD中， AB＝BC，AB∥CD，∴△CEN∽△BEA，根據相似三角形的對應邊成比例得 ，即BE·CN＝AB·CE.因為AB＝BC，

則BE2＝BC·CE，得CN＝BE.由于AB∥DN，得△CGN∽△MGA，△CGF∽△MGB，

則 ， ，∴. 又因為點M為AB的中點，得MA＝MB，

則CN＝CF＝BE.

設正方形的邊長為a，BE＝x，則CE＝BC－BE＝a－x.由BE2＝BC·CE列方程得：x2＝a·(a－x)，解得x1＝ a，x2＝a(舍去)， ＝，即tan∠CBF＝＝＝.

【試題解析】

(1)①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABG＋∠CBF＝90°.∵∠AGB＝90°，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.

②∵∠AGB＝90°，點M為AB的中點，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM.

∵∠CGE＝∠AGM，∴∠GAM＝∠CGE.

由①可知∠GAM＝∠CBG，∴∠CGE＝∠CBG.

又∵∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG，∴ ，

即CG2＝BC·CE.∵MG＝MB，∴∠MGB＝∠MBG.

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠MBG＝∠CFG.

又∵∠CGF＝∠MGB，∴∠CFG＝∠CGF，∴CF＝CG.

由①可知BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE.

(2)延長AE，DC交于點N.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴△CEN∽△BEA，∴ ，即BE·CN＝AB·CE.∵AB＝BC，BE2＝BC·CE，∴CN＝BE.∵AB∥DN，∴△CGN∽△MGA，△CGF∽△MGB，∴ ， ，∴. ∵點M為AB的中點，∴MA＝MB，∴CN＝CF，∴CF＝BE.

設正方形的邊長為a，BE＝x，則CE＝BC－BE＝a－x.由BE2＝BC·CE可得x2＝a·(a－x)，解得x1＝ a，x2＝a(舍去)，∴ ＝，∴tan∠CBF＝ ＝ ＝.