【題目】已知正方形ABCD,點M為邊AB的中點.
(1)如圖1,點G為線段CM上的一點,且∠AGB=90°,延長AG、BG分別與邊BC、CD交于點E、F.
①求證:BE=CF;
②求證:BE2=BCCE.
(2)如圖2,在邊BC上取一點E,滿足BE2=BCCE,連接AE交CM于點G,連接BG并延長交CD于點F,求tan∠CBF的值.
【答案】(1)①證明見解析;②證明見解析;(2) .
【解析】【試題分析】
(1)①在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,
因為∠ABG+∠CBF=90°,∠ABG+∠BAG=90°,根據同角的余角相等,得∠BAG=∠CBF,利用ASA判定定理得△ABE≌△BCF,根據全等三角形的對應邊相等得:BE=CF.
②∠AGB=90°,點M為AB的中點,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得,MG=MA=MB,根據等邊對等角得∠GAM=∠AGM.
因為∠CGE=∠AGM,等量代換得∠GAM=∠CGE.
由①可知∠GAM=∠CBG,則∠CGE=∠CBG.
又因為∠ECG=∠GCB,根據兩角對應相等,兩三角形相似得:△CGE∽△CBG,根據相似三角形對應邊成比例得: ,即CG2=BC·CE.∵MG=MB,∴∠MGB=∠MBG.
在正方形ABCD中,因為AB∥CD,根據平行線的性質得∠MBG=∠CFG.
又因為∠CGF=∠MGB,等量代換得∠CFG=∠CGF,根據等邊對等角得CF=CG.
由①可知BE=CF,即BE=CG,故BE2=BC·CE.
(2)延長AE,DC交于點N.在正方形ABCD中, AB=BC,AB∥CD,∴△CEN∽△BEA,根據相似三角形的對應邊成比例得 ,即BE·CN=AB·CE.因為AB=BC,
則BE2=BC·CE,得CN=BE.由于AB∥DN,得△CGN∽△MGA,△CGF∽△MGB,
則 , ,∴. 又因為點M為AB的中點,得MA=MB,
則CN=CF=BE.
設正方形的邊長為a,BE=x,則CE=BC-BE=a-x.由BE2=BC·CE列方程得:x2=a·(a-x),解得x1= a,x2=a(舍去), =,即tan∠CBF===.
【試題解析】
(1)①∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,∴∠ABG+∠CBF=90°.∵∠AGB=90°,∴∠ABG+∠BAG=90°,∴∠BAG=∠CBF,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF.
②∵∠AGB=90°,點M為AB的中點,∴MG=MA=MB,∴∠GAM=∠AGM.
∵∠CGE=∠AGM,∴∠GAM=∠CGE.
由①可知∠GAM=∠CBG,∴∠CGE=∠CBG.
又∵∠ECG=∠GCB,∴△CGE∽△CBG,∴ ,
即CG2=BC·CE.∵MG=MB,∴∠MGB=∠MBG.
∵四邊形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴∠MBG=∠CFG.
又∵∠CGF=∠MGB,∴∠CFG=∠CGF,∴CF=CG.
由①可知BE=CF,∴BE=CG,∴BE2=BC·CE.
(2)延長AE,DC交于點N.∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,AB∥CD,∴△CEN∽△BEA,∴ ,即BE·CN=AB·CE.∵AB=BC,BE2=BC·CE,∴CN=BE.∵AB∥DN,∴△CGN∽△MGA,△CGF∽△MGB,∴ , ,∴. ∵點M為AB的中點,∴MA=MB,∴CN=CF,∴CF=BE.
設正方形的邊長為a,BE=x,則CE=BC-BE=a-x.由BE2=BC·CE可得x2=a·(a-x),解得x1= a,x2=a(舍去),∴ =,∴tan∠CBF= = =.
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【題目】恒昌路是一條東西走向的馬路,有市場、醫(yī)院、車站、學校四家公共場所。已知市場在醫(yī)院東200米,車站在市場東150米,醫(yī)院在學校東450米。若將馬路近似的看成一條直線,以醫(yī)院為原點,向東方向為正方向,用1個單位長度表示100米,
(1)在數軸上表示出四家公共場所的位置;
(2)列式計算學校與車站之間的距離.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】(2017湖北省十堰市,第10題,3分)如圖,直線分別交x軸,y軸于A,B,M是反比例函數(x>0)的圖象上位于直線上方的一點,MC∥x軸交AB于C,MD⊥MC交AB于D,ACBD=,則k的值為( 。
A. ﹣3 B. ﹣4 C. ﹣5 D. ﹣6
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【題目】已知數軸上有兩點,對應的數分別為,,點為數軸上一動點,對應點的數為.
(1)若點到點,點的距離相等,則點對應的數為________.
(2)數軸上是否存在點,使點到點、點的距離之和為8?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
(3)當點以每秒的單位長度的速度從(原點)向左運動,同時點以每秒個單位長度的速度向左運動,點以每秒個單位長度的速度向左運動,問它們同時出發(fā),幾秒后點到點、點的距離相等?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,圖中的小方格都是邊長為1的正方形, △ABC與△A′ B′ C′是關于點0為位似中心的位似圖形,它們的頂點都在小正方形的頂點上.
(1)畫出位似中心點0;
(2)求出△ABC與△A′B′C′的位似比;
(3)以點0為位似中心,再畫一個△A1B1C1,使它與△ABC的位似比等于1.5.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】完成下面的證明.如圖,已知AB∥CD,∠B=∠C,
求證:∠1=∠2.
證明:∵AB∥CD(已知)
∴∠B= ( ).
∵∠B=∠C(已知)
∴∠BFD=∠C(等量代換)
∴EC∥ ( )
∴∠2= (兩直線平行,同位角相等)
∵∠1= ( )
∴∠1=∠2(等量代換).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某學校設計了如圖所示的雕塑,取名“階梯”, 現(xiàn)在工廠師傅打算用油漆噴刷所有暴露面,經測量,已知每個小立方體的棱長為0.5米.
(1)請你畫出從它的正面、左面、上面三個不同方向看到的平面圖形.
(2)請你幫助工人師傅計算一下,需要噴刷油漆的總面積是多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】對于任意有理數a,b,定義運算:a⊙b=a(a+b)﹣1,等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算,例如,2⊙5=2×(2+5)﹣1=13;(﹣3)⊙(﹣5)=﹣3×(﹣3﹣5)﹣1=23.
(1)求(﹣2)⊙3的值;
(2)對于任意有理數m,n,請你重新定義一種運算“⊕”,使得5⊕3=20,寫出你定義的運算:m⊕n= (用含m,n的式子表示).
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