Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形．直線L經(jīng)過O、C兩點(diǎn)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（11，4），動點(diǎn)P在線段OA上從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿A→B→C的方向向點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線O一C﹣B相交于點(diǎn)M．當(dāng)Q、M兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間為t秒（t＞0）．△MPQ的面積為S．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ，直線L的解析式為 ．

（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍．

（3）試求題（2）中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大，并求出S的最大值．

（4）隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在線段CB上運(yùn)動時(shí)，設(shè)PM的延長線與直線L相交于點(diǎn)N．試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）（3，4），y= x；（2）①當(dāng)0＜t≤，S= t2+ t；②當(dāng)＜t≤3時(shí)，S= －2t2+t, ③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇時(shí)，S=﹣6t+32；(3) 當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為.(4) 當(dāng)t=時(shí)，△QMN為等腰三角形．

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)A、B的坐標(biāo)便可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入正比例函數(shù)即可求得直線l的解析式；
（2）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t，根據(jù)t的取值范圍不同分三種情況分別進(jìn)行討論，得到三種S關(guān)于t的函數(shù)，解題時(shí)注意t的取值范圍；
（3）分別根據(jù)三種函數(shù)解析式求出當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，然后比較三個(gè)最大值，可知當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值為；
（4）根據(jù)題意并細(xì)心觀察圖象，分兩種情況討論可知：當(dāng)t=時(shí)，△QMN為等腰三角形．

解：（1）由題意知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（11.4），

且OA=BC，故C點(diǎn)坐標(biāo)為C（3，4），設(shè)直線l的解析式為y=kx，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx，解得k=，

∴直線l的解析式為y= x；故答案為：（3，4），y= x；

（2）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t．分四種情況討論：

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖1，M點(diǎn)的坐標(biāo)是（t， t）．過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，可得△AEQ∽△ODC，∴ = =，∴ = =，∴AE =，EQ= t，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（8+ t， t），∴PE=8+t－t= 8+t，∴S=·MP·PE=·t·（8+t）= t2+ t；

②當(dāng)＜t≤3時(shí)，如圖2，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，∵BQ=2t﹣5，∴OF=11﹣（2t﹣5）=16﹣2t，

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（16﹣2t，4），∴PF=16﹣2t﹣t=16﹣3t，

∴S=·MP·PF=·t·(16－3t)= －2t2+t,

③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇時(shí)，16﹣2t=t，解得t =．當(dāng)3＜t＜時(shí)，如圖3，MQ=16﹣2t﹣t=16﹣3t，MP=4．S=·MP·PF =·4·（16－3t）=﹣6t+32；

（3）解：① 當(dāng)時(shí)，，∵，拋物線開口向上，對稱軸為直線， ∴ 當(dāng)時(shí)，S隨t的增大而增大.

∴ 當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為．

②當(dāng)時(shí)，�！�，拋物線開口向下．

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為．

③當(dāng)時(shí)，，∵．∴S隨t的增大而減小．

又∵當(dāng)時(shí)，S=14．當(dāng)時(shí)，S=0．∴．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為.

（4）M、Q在BC邊上運(yùn)動且沒有相遇時(shí)，如圖4，CM=t－3，BQ= 2t－5，MN=（t－3），∴MQ= 8－（t－3）－（2t－5）= 16－3t，∴只有（t－3）=16－3t，即當(dāng)t=時(shí)，△QMN為等腰三角形．

“點(diǎn)睛”本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線最大值的求法和動點(diǎn)問題等知識點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于難題．