【題目】如圖,M的圓心M(﹣1,2),M經(jīng)過坐標(biāo)原點O,與y軸交于點A,經(jīng)過點A的一條直線l解析式為:y=﹣x+4與x軸交于點B,以M為頂點的拋物線經(jīng)過x軸上點D(2,0)和點C(﹣4,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)求證:直線l是M的切線;

(3)點P為拋物線上一動點,且PE與直線l垂直,垂足為E,PFy軸,交直線l于點F,是否存在這樣的點P,使PEF的面積最?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo)及PEF面積的最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2x+(2)證明見解析;(3)P(,).

【解析】

試題分析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)(x+4),將點M的坐標(biāo)代入可求得a的值,從而得到拋物線的解析式;

(2)連接AM,過點M作MGAD,垂足為G.先求得點A和點B的坐標(biāo),可求得,可得到AG、ME、OA、OB的長,然后利用銳角三角函數(shù)的定義可證明MAG=ABD,故此可證明AMAB;

(3))先證明FPE=FBD.則PF:PE:EF=:2:1.則PEF的面積=PF2,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,﹣x2x+),則F(x,﹣x+4).然后可得到PF與x的函數(shù)關(guān)系式,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

試題解析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)(x+4),將點M的坐標(biāo)代入得:﹣9a=2,解得:a=﹣

拋物線的解析式為y=﹣x2x+

(2)連接AM,過點M作MGAD,垂足為G.

把x=0代入y=﹣x+4得:y=4,

A(0,4).

將y=0代入得:0=﹣x+4,解得x=8,

B(8,0).

OA=4,OB=8.

M(﹣1,2),A(0,4),

MG=1,AG=2.

tanMAG=tanABO=

∴∠MAG=ABO.

∵∠OAB+ABO=90°,

∴∠MAG+OAB=90°,即MAB=90°.

l是M的切線.

(3)∵∠PFE+FPE=90°,FBD+PFE=90°,

∴∠FPE=FBD.

tanFPE=

PF:PE:EF=:2:1.

∴△PEF的面積=PEEF=PFPF=PF2

當(dāng)PF最小時,PEF的面積最。

設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,﹣x2x+,則F(x,﹣x+4).

PF=(﹣x+4)﹣(﹣x2x+)=﹣x+4+x2+x﹣=x2x+=(x﹣2+

當(dāng)x=時,PF有最小值,PF的最小值為

P(,).

∴△PEF的面積的最小值為=×2=

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