Question

【題目】如圖，在菱形中，，對(duì)角線平分角，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，若，，，則菱形的面積等于_____________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：根據(jù)題意得出△ABC為等邊三角形，以PA為邊向△ABC外作一等邊△APE(E點(diǎn)在AB邊外)，連結(jié)BE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BAE和△CAP全等，從而得出∠APB=150°，根據(jù)余弦定理得出△ABP的面積，從而得出△ABC的面積，最后根據(jù)菱形的面積等于兩個(gè)△ABC的面積得出答案．

詳解：∵AB=BC，∠B=60°， ∴△ABC為等邊三角形，

設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為k，作BC邊上的高AE,則BE=,由勾股定理得：AE=k，

∴ ，

以PA為邊向△ABC外作一等邊△APE(E點(diǎn)在AB邊外)，連結(jié)BE，

可知：∠BAE+∠PAB=∠BAC=∠PAE=∠CAP+∠PAB=60°，

所以：∠BAE=∠CAP；AB=AC，AE=AP，因此，△BAE≌△CAP；則：BE=CP=10,

在△BPE中PE=6，PB=8，BE=1， ∴△BPE是直角三角形

∴∠APB=∠APE+∠BPE=60°+90°=150°,

在△ABP中由余弦定理得：=AB2=PA2+PB2－2×PA×PB×cos∠APB =100+48，

∴， ∴菱形的面積=()×2=