Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2﹣4x的圖象與x軸、直線y=x的一個交點分別為點A，B，CD是線段OB上的一動線段，且CD=2，過點C，D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點F，E，連接EF．
（1）點A的坐標(biāo)為 ， 線段OB的長=；
（2）設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m ①當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時，求m的值；
②連接AC、AD，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】
（1）（4，0）；5
（2）解：①∵點C的橫坐標(biāo)為m，且CF∥DE∥y軸，

∴C（m，m），F(xiàn)（m，m2﹣4m），

又∵CD=2，且CD是線段OB上的一動線段，

∴D（m+ ，m+ ），E（m+ ，（m+ ）2﹣4（m+ ）），

∴CF=m﹣（m+ ），DE=m+ ﹣[（m+ ）2﹣4（m+ ）]，

∵當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時，CF=DE，

∴m﹣（m+ ）=m+ ﹣[（m+ ）2﹣4（m+ ）]，

解得m= ；

②如圖所示，過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，

∴AC=DG，

作點A關(guān)于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D=AD，

∴當(dāng)A'，D，G三點共線時，A'D+DG=A'G最短，此時AC+AD最短，

∵A（4，0），AG=CD=2，

∴A'（0，4），G（4+ ， ），

設(shè)直線A'G的解析式為y=kx+b，則

，解得 ，

∴直線A'G的解析式為y=﹣ x+4，

解方程組 ，可得 ，

∴D（2+ ，2+ ），

∵CD=2，且CD是線段OB上的一動線段，

∴C（2﹣ ，2﹣ ），

∴點C的橫坐標(biāo)m=2﹣ ，

由A（4，0），C（2﹣ ，2﹣ ）可得，AC= =3，

由A（4，0），D（2+ ，2+ ）可得，AD= =3，

又∵CD=2，

∴△ACD的周長=CD+AC+AD=2+3+3=8，

故當(dāng)m=2﹣ 時，△ACD的周長最小，這個最小值為8．

【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x， 解得x1=0，x2=4，
∴A（4，0），
解方程組 ，可得
或 ，
∴B（5，5），
∴OB= =5 ．
所以答案是：（4，0），5 ；
（1）根據(jù)y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程組 ，可得B（5，5），進而得出OB的長；（2）①根據(jù)C（m，m），F(xiàn)（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m+ ），根據(jù)D（m+ ，m+ ），E（m+ ，（m+ ）2﹣4（m+ ）），可得DE=m+ ﹣[（m+ ）2﹣4（m+ ）]，最后根據(jù)當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時，CF=DE，求得m的值即可；②先過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，得出AC=DG，再作點A關(guān)于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D=AD，根據(jù)當(dāng)A'，D，G三點共線時，A'D+DG=A'G最短，可得此時AC+AD最短，然后求得直線A'G的解析式為y=﹣ x+4，解方程組可得D（2+ ，2+ ），C（2﹣ ，2﹣ ），最后根據(jù)兩點間距離公式，求得△ACD的周長的最小值．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．