Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x=的拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），AB=5

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及該拋物線對應(yīng)的解析式；

（2）D為BC的中點(diǎn)，延長OD與拋物線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE．

①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②判斷ABE的形狀，并說明理由；

（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OBEP是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）①E（2，﹣2），②△ABE是直角三角形；（3）存在點(diǎn)P，使四邊形OBEP是平行四邊形，坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．

【解析】試題分析：

（1）由拋物線的對稱軸為直線，與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），AB=5，可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），B（3，0），由此可設(shè)拋物線解析式為： ，再代入點(diǎn)C（0，-3）解出的值即可求得解析式；

（2）①根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)D的坐標(biāo)可求得直線OD的解析式；解有OD的解析式和拋物線的解析式組成的方程組即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②由點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)可求出AB、BE、AE的長度，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出△ABE是直角三角形；

（3）過點(diǎn)E作EP∥OB交拋物線于點(diǎn)P，根據(jù)點(diǎn)P和E關(guān)于直線對稱，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求得PE的長，若PE=OB，則點(diǎn)P符合要求，否則就不存在符合要求的點(diǎn)P.

試題解析：

（1）∵點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱，且AB=5

∴A（﹣2，0），B（3，0），

∴可設(shè)拋物線的解析式為： ，

把點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，﹣3）代入得： ，解得： ，

∴該二次函數(shù)的解析式為： ，即；

（2）①∵點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0），（0，﹣3），

∴線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為： .

設(shè)直線OE的解析式為： ，

把 D，代入解得： ，

∴OE的解析式為： ，

由，解得， ，

又因為點(diǎn)E在第四象限，

∴E的坐標(biāo)為（2，﹣2）.

②∵AE=，BE=，AB=5，

∴AB2=AE2+BE2，

∴△ABE是直角三角形；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)P

過E作PE∥OB，交拋物線于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)P和點(diǎn)E（2，﹣2）關(guān)于對稱軸對稱

∴P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），

∴PE=3=OB，

又∵PE∥OB，

∴四邊形OBEP是平行四邊形，

∴存在點(diǎn)P，使四邊形OBEP是平行四邊形，坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．