【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的邊OA、OC分別落在x軸、y軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且OA=8,OC=4,連接AC,將矩形OABC對(duì)折,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,折痕ED與BC交于點(diǎn)D,交OA于點(diǎn)E,連接AD,如圖①.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)和AD所在直線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)⊙M的圓心M始終在直線AC上(點(diǎn)A除外),且⊙M始終與x軸相切,如圖②.
①求證:⊙M與直線AD相切;
②圓心M在直線AC上運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中,能否與y軸也相切?如果能相切,求出此時(shí)⊙M與x軸、y軸和直線AD都相切時(shí)的圓心M的坐標(biāo);如果不能相切,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)CE=t,

∵矩形OABC對(duì)折,使A與C重合(折痕為ED),OA=8,OC=4

∴CE=AE=t,∠AED=∠CED,

∴OE=OA﹣AE=8﹣t,

在Rt△OCE中,∵OE2+OC2=CE2,

∴42+(8﹣t)2=t2,

解得t=5,

即CE=AE=5

∵BC∥OA,

∴∠CDE=∠AED,

∴∠CDE=∠CED,

∴CD=CE=5.

∴D(5,4),

設(shè)直線AD的解析式 為y=kx+b,

將A(8,0)、D(5,4)代入解析式可得

解得

AD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為


(2)解:①∵四邊形OABC為矩形,

∴BC∥OA,

∴∠DCA=∠CAO,

又∵矩形OABC對(duì)折,使A與C重合(折痕為ED),

∴DE為AC的垂直平分線

∴CD=AD,

∴∠DCA=∠DAC,

∴∠DAC=∠CAO,

∴AC平分∠DAO,

∴AC上的點(diǎn)到直線AO和直線AD的距離相等,

∴M點(diǎn)到直線AO和直線AD的距離相等,

∵⊙M始終與x軸相切,

∴M點(diǎn)到直線AO的距離為半徑r,

∴M點(diǎn)到直線AD的距離也為半徑r,

∴直線AD與⊙M相切;

②⊙M在直線AC上運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中,能與y軸也相切.

如果⊙M與y軸相切,可知圓心M到y(tǒng)軸的距離為半徑,

由①可知M(8﹣2r,r)所以只需使8﹣2r=r,

即當(dāng)r為 時(shí),⊙M與x軸、y軸和直線AD都相切,

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,


【解析】(1)設(shè)CE=t,由于矩形OABC對(duì)折,OA=OC=4,從而可知OE=8﹣t,由勾股定理可解得:t的值,由易證CD=CE,從而可求出點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出直線AD的解析式;(2)①由(1)可知:DE是AC的垂直平分線,從而可證明AC平分∠OAD,從而可證明⊙M與直線AD相切;②如果⊙M與y軸相切,可知圓心M到y(tǒng)軸的距離為半徑,由①可知M(8﹣2r,r)所以只需使8﹣2r=r,從而可求出r的值.

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,π,3.14,- ,0,-5.123 45…, ,-.

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(4)負(fù)實(shí)數(shù)集合:{ …}.

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