Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC分別落在x軸、y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA=8，OC=4，連接AC，將矩形OABC對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕ED與BC交于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)E，連接AD，如圖①．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)和AD所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）⊙M的圓心M始終在直線AC上（點(diǎn)A除外），且⊙M始終與x軸相切，如圖②．
①求證：⊙M與直線AD相切；
②圓心M在直線AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，能否與y軸也相切？如果能相切，求出此時(shí)⊙M與x軸、y軸和直線AD都相切時(shí)的圓心M的坐標(biāo)；如果不能相切，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)CE=t，

∵矩形OABC對(duì)折，使A與C重合（折痕為ED），OA=8，OC=4

∴CE=AE=t，∠AED=∠CED，

∴OE=OA﹣AE=8﹣t，

在Rt△OCE中，∵OE2+OC2=CE2，

∴42+（8﹣t）2=t2，

解得t=5，

即CE=AE=5

∵BC∥OA，

∴∠CDE=∠AED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CD=CE=5．

∴D（5，4），

設(shè)直線AD的解析式 為y=kx+b，

將A（8，0）、D（5，4）代入解析式可得

解得

AD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為

（2）解：①∵四邊形OABC為矩形，

∴BC∥OA，

∴∠DCA=∠CAO，

又∵矩形OABC對(duì)折，使A與C重合（折痕為ED），

∴DE為AC的垂直平分線

∴CD=AD，

∴∠DCA=∠DAC，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠DAO，

∴AC上的點(diǎn)到直線AO和直線AD的距離相等，

∴M點(diǎn)到直線AO和直線AD的距離相等，

∵⊙M始終與x軸相切，

∴M點(diǎn)到直線AO的距離為半徑r，

∴M點(diǎn)到直線AD的距離也為半徑r，

∴直線AD與⊙M相切；

②⊙M在直線AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，能與y軸也相切．

如果⊙M與y軸相切，可知圓心M到y(tǒng)軸的距離為半徑，

由①可知M（8﹣2r，r）所以只需使8﹣2r=r，

即當(dāng)r為 時(shí)，⊙M與x軸、y軸和直線AD都相切，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）

【解析】（1）設(shè)CE=t，由于矩形OABC對(duì)折，OA=OC=4，從而可知OE=8﹣t，由勾股定理可解得：t的值，由易證CD=CE，從而可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AD的解析式；（2）①由（1）可知：DE是AC的垂直平分線，從而可證明AC平分∠OAD，從而可證明⊙M與直線AD相切；②如果⊙M與y軸相切，可知圓心M到y(tǒng)軸的距離為半徑，由①可知M（8﹣2r，r）所以只需使8﹣2r=r，從而可求出r的值．