Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，若∠A＝60°，∠DBC+∠ECB多少度；

（2）如圖2，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有怎樣的數量關系？為什么？

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A+∠D有怎樣的數量關系？為什么？

（4）如圖4，在五邊形ABCDE中，BP、CP分別平分外角∠NBC、∠MCB，∠P與∠A+∠D+∠E有怎樣的數量關系？(直接寫出答案)．

Answer 1

【答案】（1）∠DBC+∠ECB＝240°；（2）∠P＝90°﹣∠A；（3）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）（4）∠P＝270°﹣（∠A+∠E+∠D）.

【解析】

（1）根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據外角的性質計算；（2）根據角平分線的定義得到∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，根據三角形內角和定理計算；

（3）根據四邊形內角和等于360°計算；（4）根據五邊形的內角和等于540°、三角形的外角的性質、角平分線的定義計算．

（1）∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣120°＝240°；

（2）∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，

∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，

∴∠PBC+∠PCB＝90°+∠A，

∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°﹣∠A；

（3）∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣∠A﹣∠D，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）＝∠A+∠D，

∴∠PBC+∠PCB＝（∠A+∠D），

∴∠P＝180°﹣（∠A+∠D）；

（4）五邊形的內角和＝（5﹣2）×180°＝540°，

∴∠ABC+∠ACB＝540°﹣∠A﹣∠E﹣∠D，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（540°﹣∠A﹣∠E﹣∠D）＝∠A+∠E+∠D﹣180°，

∴∠PBC+∠PCB＝（∠A+∠E+∠D﹣180°），

∠P＝180°﹣（∠A+∠E+∠D﹣180°）＝270°﹣（∠A+∠E+∠D）．