Question

【題目】如圖，以邊和為邊作等邊和，連接，，

判斷與的數(shù)量關系，并求與的夾角的度數(shù)；

繼續(xù)探索，如圖，以的和為邊作正方形和，連接、，判斷和的數(shù)量關系，并求出此時與的夾角；

如圖中、分別是、的中點，、分別是正方形的中心，順次連接，判斷四邊形的形狀并證明．

Answer 1

【答案】(1)，的度數(shù)為；(2)且與的夾角為；(3) 四邊形為正方形，理由詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，再求出∠BAE=∠DAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=DC，全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠ACD，然后∠FEC+∠FCE=120°，再根據(jù)三角形內角和定理計算即可得解；（2）根據(jù)正方形的性質可得AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，再求出∠BAH=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABH和△AFC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BH=FC，全等三角形對應角相等可得∠AFC=∠ABH，然后∠EFC+∠EBH=180°，設BH、CF相交于點G，再根據(jù)四邊形的內角和定理計算即可求出∠BGF=90°，根據(jù)垂線的定義即可得證；根據(jù)正方形的對角線互相平分可得點P、Q分別是BF、CH的中點，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PN∥BH，PN=BH，MQ∥BH，MQ=BH，NQ∥CF，NQ=CF，PM∥CF，PM=CF，再根據(jù)（2）的結論可得BH=CF，BH⊥CF，然后求出MP=PN=NQ=MQ，從而判定四邊形MPNQ是菱形，再根據(jù)BH⊥CF求出PN⊥NQ，根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形證明．

∵和都是等邊三角形，

∴，，，

∴，

即，

在和中，，

∴，

∴，，

∴，

∴；

故，的度數(shù)為；

在正方形和中，，，，

∴，

即，

在和中，，

∴，

∴，，

∴，

設、相交于點，

則，

∴，

故且與的夾角為；

四邊形為正方形．理由如下：

∵、分別是正方形的中心，

∴、分別是、的中點，

∵、分別是、的中點，

∴，，，，，，，，

根據(jù)的結論，，，

∴，

∴四邊形是菱形，

∵，，，

∴，

∴菱形是正方形，

故四邊形為正方形．