【題目】已知,,,(如圖),點,分別為射線上的動點(點C、E都不與點B重合),連接AC、AE使得,射線交射線于點,設(shè),.
(1)如圖1,當(dāng)時,求AF的長.
(2)當(dāng)點在點的右側(cè)時,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)的定義域.
(3)連接交于點,若是等腰三角形,直接寫出的值.
【答案】(1);(2);(3)或或.
【解析】
過點作于N,利用∠B的余弦值可求出BN的長,利用勾股定理即可求出AN的長,根據(jù)線段的和差關(guān)系可得CN的長,利用勾股定理可求出AC的長,根據(jù)AD//BC,AD=BC即可證明四邊形ABCD是平行四邊形,可得∠B=∠D,進(jìn)而可證明△ABC∽△ADF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AF的長;(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,根據(jù)等量代換可得,進(jìn)而可證明△ABC∽△ABE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,可用x表示出BE、CE的長,根據(jù)平行線分線段成比例定理可用x表示出的值,根據(jù)可得y與x的關(guān)系式,根據(jù)x>0,CE>0即可確定x的取值范圍;(3)分PA=PD、AP=AD和AD=PD三種情況,根據(jù)BE=及線段的和差關(guān)系,分別利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.
(1)如圖,過點作于N,
∵AB=5,,
∴在中,=5×=3,
∴AN===4,
∵BC=x=4,
∴CN=BC-BN=4-3=1,
在中,,
∵AD=4,BC=x=4,
∴AD=BC,
∵,
∴四邊形為平行四邊形,
∴,
又∵,
∴△ABC∽△ADF,
∴,
∴
解得:,
(2)∵,
∴,
∵,
∴,
又∵∠B=∠B,
∴△ABC∽△ABE,
∴,
∴,
∵AD//BC,
∴,
∴,
∵x>0,CE=>0,
∴0<x<5,
∴,
(3)①如圖,當(dāng)PA=PD時,作AH⊥BM于H,PG⊥AD于G,延長GP交BM于N,
∵PA=PD,AD=4,
∴AG=DG=2,∠ADB=∠DAE,
∵AD//BE,
∴GN⊥BE,∠DAE=∠AEB,∠ADB=∠DBE,
∴∠DBE=∠AEB,
∴PB=PE,
∴BN=EN=BE=,
∵,AB=5,
∴BH=AB·cos∠ABH=3,
∵AH⊥BM,GN⊥MB,GN⊥AD,
∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°,
∴四邊形AHNG是矩形,
∴HN=AG=2,
∴BN=BH+HN=3+2=5,
∴=5,
解得:x=.
②如圖,當(dāng)AP=AD=4時,作AH⊥BM于H,
∴∠ADB=∠APD,
∵AD//BM,
∴∠ADB=∠DBC,
∵∠APD=∠BPE,
∴∠DBC=∠BPE,
∴BE=PE=,
∵cos∠ABC=,AB=5,
∴BH=3,AH=4,
∴在Rt△AEH中,(4+)2=42+(3-)2,
解得:x=,
③如圖,當(dāng)AD=PD=4時,作AH⊥BM于H,DN⊥BM于N,
∴∠DAP=∠DPA,
∵AD//BM,
∴∠DAP=∠AEB,
∵∠APD=∠BPE,
∴∠BPE=∠AEB,
∴BP=BE=,
∵cos∠ABC=,AB=5,
∴BH=3,AH=4,
∵AD//BM,AH⊥BM,DN⊥BM,
∴四邊形AHND是矩形,
∴DN=AH=4,HN=AD=4,
中Rt△BND中,(4+)2=42+(4+3)2,
解得:x=,
綜上所述:x的值為或或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚傳統(tǒng)文化,某校開展了“傳承經(jīng)典文化,閱讀經(jīng)典名著”活動.為了解七、八年級學(xué)生(七、八年級各有600名學(xué)生)的閱讀效果,該校舉行了經(jīng)典文化知識競賽.現(xiàn)從兩個年級各隨機抽取20名學(xué)生的競賽成績(百分制)進(jìn)行分析,過程如下:
收集數(shù)據(jù):
七年級:79,85,73,80,75,76,87,70,75,94,75,79,81,71,75,80,86,59,83,77.
八年級:92,74,87,82,72,81,94,83,77,83,80,81,71,81,72,77,82,80,70,41.
整理數(shù)據(jù):
七年級 | 0 | 1 | 0 | a | 7 | 1 |
八年級 | 1 | 0 | 0 | 7 | b | 2 |
分析數(shù)據(jù):
平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) | |
七年級 | 78 | 75 | |
八年級 | 78 | 80.5 |
應(yīng)用數(shù)據(jù):
(1)由上表填空:a= ,b= ,c= ,d= .
(2)估計該校七、八兩個年級學(xué)生在本次競賽中成績在90分以上的共有多少人?
(3)你認(rèn)為哪個年級的學(xué)生對經(jīng)典文化知識掌握的總體水平較好,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按要求解方程:
①y(y﹣2)=3 y2﹣1(公式法)
②x2+8x+9=0(配方法)
③(2x﹣1)2﹣3(2x﹣1)+2=0(因式分解法)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,的余切值為2,,點D是線段上的一動點(點D不與點A、B重合),以點D為頂點的正方形的另兩個頂點E、F都在射線上,且點F在點E的右側(cè),聯(lián)結(jié),并延長,交射線于點P.
(1)點D在運動時,下列的線段和角中,________是始終保持不變的量(填序號);
①;②;③;④;⑤;⑥;
(2)設(shè)正方形的邊長為x,線段的長為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(3)如果與相似,但面積不相等,求此時正方形的邊長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點P為直線BD,CE的交點.
(1)如圖,將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn),當(dāng)D在線段CE上時,連接BE,下列給出兩個結(jié)論:①BD=CD+AD;②BE2=2(AD2+AB2).其中正確的是 ,并給出證明.
(2)若AB=4,AD=2,把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn),
①當(dāng)∠EAC=90°時,求PB的長;
②旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長的最大值是 .
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【題目】“元旦大酬賓!”,某商場設(shè)計的促銷活動如下:在一個不透明的箱子里放有3張相同的卡片,卡片上分別標(biāo)有“10元”、“20元”和“30元”的字樣,規(guī)定:在本商場同一日內(nèi),顧客每消費滿300元,就可以在箱子里摸出一張卡片,記下錢數(shù)后放回,再從中摸出一張卡片.商場根據(jù)兩張卡片所標(biāo)金額的和返還相等價格的購物券,購物券可以在本商場消費.某顧客剛好消費300元.
(1)該顧客最多可得到 元購物券;
(2)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出該顧客所獲得購物券的金額不低于40元的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x=1+2m,y=1﹣m.
(1)若點(x,y)恰為拋物線y=ax2﹣ax+1的頂點,求a的值;
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(3)若﹣3≤m≤1,x≤0,求y的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點M,已知BC=5,點E在射線BC上,tan∠DCE=,點P從點B出發(fā),以每秒2個單位沿BD方向向終點D勻速運動,過點P作PQ⊥BD交射線BC于點O,以BP、BQ為鄰邊構(gòu)造PBQF,設(shè)點P的運動時間為t(t>0).
(1)tan∠DBE= ;
(2)求點F落在CD上時t的值;
(3)求PBQF與△BCD重疊部分面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)連接PBQF的對角線BF,設(shè)BF與PQ交于點N,連接MN,當(dāng)MN與△ABC的邊平行(不重合)或垂直時,直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點,.
(1)若,求的值;
(2)過點作與軸平行的直線,交拋物線于點,.當(dāng)時,求的取值范圍.
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