Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點P為直線BD，CE的交點．

（1）如圖，將△ADE繞點A旋轉，當D在線段CE上時，連接BE，下列給出兩個結論：①BD＝CD+AD；②BE2＝2（AD2+AB2）．其中正確的是　 　，并給出證明．

（2）若AB＝4，AD＝2，把△ADE繞點A旋轉，

①當∠EAC＝90°時，求PB的長；

②旋轉過程中線段PB長的最大值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①，證明詳見解析；（2）①PB＝；②2+2．

【解析】

（1）①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結論；②△BDE為直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2≠BD2就可以得出結論；

（2）分兩種情形當點E在AB上時，BE＝AB﹣AE＝2．由△PEB∽△AEC，得，由此即可解決問題；當點E在BA延長線上時，BE＝6．解法類似；

②如圖3中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．分別求出PB即可；

（1）∵△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，

∴AE＝AD，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°，DE＝AD，

∴∠DAB＝∠EAC，且AE＝AD，AB＝AC，

∴△AEC≌△ADB（SAS）

∴BD＝CE＝DE+CD，

∴BD＝CD+AD，

∴①正確，

∵BD⊥CE，

∴BE2＝BD2+DE2，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，

∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，

∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，

∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，

∴BE2≠2（AD2+AB2），

∴②錯誤．

故答案為①；

（2）①圖1中，當點E在AB上時，BE＝AB﹣AE＝2．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝＝＝2，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠PEB＝∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴，

∴

∴PB＝．

如圖2中，當點E在BA延長線上時，BE＝AB+AE＝6．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝＝＝2，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠BEP＝∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB＝，

綜上，PB＝或；

②如圖3中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．

理由：此時∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC＝＝＝2，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝2，

∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，

∴四邊形AEPD是矩形，

∴PD＝AE＝2，

∴PB＝BD+PD＝2+2，

綜上所述，PB長的最大值是2+2，

故答案為：2+2．