【題目】如圖①,在矩形中,點(diǎn)從邊的中點(diǎn)出發(fā),沿著速運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位長度,到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)是上的點(diǎn),,設(shè)的面積為,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒,與的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.
(1)圖①中= ,= ,圖②中= .
(2)當(dāng)=1秒時(shí),試判斷以為直徑的圓是否與邊相切?請(qǐng)說明理由:
(3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中,將矩形沿所在直線折疊,則為何值時(shí),折疊后頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的一邊上.
【答案】(1)8,18,20;(2)不相切,證明見解析;(3)t=、5、.
【解析】
(1)由題意得出AB=2BE,t=2時(shí),BE=2×2=4,求出AB=2BE=8,AE=BE=4,t=11時(shí),2t=22,得出BC=18,當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)P在E處,m=△AEQ的面積=AQ×AE=20即可;
(2)當(dāng)t=1時(shí),PE=2,得出AP=AE+PE=6,由勾股定理求出PQ=2,設(shè)以PQ為直徑的圓的圓心為O',作O'N⊥BC于N,延長NO'交AD于M,則MN=AB=8,O'M∥AB,MN=AB=8,由三角形中位線定理得出O'M=AP=3,求出O'N=MN-O'M=5<圓O'的半徑,即可得出結(jié)論;
(3)分三種情況:①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上,A'落在BC邊上時(shí),作QF⊥BC于F,則QF=AB=8,BF=AQ=10,由折疊的性質(zhì)得:PA'=PA,A'Q=AQ=10,∠PA'Q=∠A=90°,由勾股定理求出A'F==6,得出A'B=BF-A'F=4,在Rt△A'BP中,BP=4-2t,PA'=AP=8-(4-2t)=4+2t,由勾股定理得出方程,解方程即可;
②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上,A'落在BC邊上時(shí),由折疊的性質(zhì)得:A'P=AP,證出∠APQ=∠AQP,得出AP=AQ=A'P=10,在Rt△ABP中,由勾股定理求出BP=6,由BP=2t-4,得出2t-4=6,解方程即可;
③當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上,A'落在CD邊上時(shí),由折疊的性質(zhì)得:A'P=AP,A'Q=AQ=10,在Rt△DQA'中,DQ=AD-AQ=8,由勾股定理求出DA'=6,得出A'C=CD-DA'=2,在Rt△ABP和Rt△A'PC中,BP=2t-4,CP=BC-BP=22-2t,由勾股定理得出方程,解方程即可.
(1)∵點(diǎn)P從AB邊的中點(diǎn)E出發(fā),速度為每秒2個(gè)單位長度,
∴AB=2BE,
由圖象得:t=2時(shí),BE=2×2=4,
∴AB=2BE=8,AE=BE=4,
t=11時(shí),2t=22,
∴BC=22-4=18,
當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)P在E處,m=△AEQ的面積=AQ×AE=×10×4=20;
故答案為:8,18,20;
(2)當(dāng)t=1秒時(shí),以PQ為直徑的圓不與BC邊相切,理由如下:
當(dāng)t=1時(shí),PE=2,
∴AP=AE+PE=4+2=6,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∴PQ=,
設(shè)以PQ為直徑的圓的圓心為O',作O'N⊥BC于N,延長NO'交AD于M,如圖1所示:
則MN=AB=8,O'M∥AB,MN=AB=8,
∵O'為PQ的中點(diǎn),
∴O'M是△APQ的中位線,
∴O'M=AP=3,
∴O'N=MN-O'M=5<,
∴以PQ為直徑的圓不與BC邊相切;
(3)分三種情況:①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上,A'落在BC邊上時(shí),作QF⊥BC于F,如圖2所示:
則QF=AB=8,BF=AQ=10,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°,CD=AB=8,AD=BC=18,
由折疊的性質(zhì)得:PA'=PA,A'Q=AQ=10,∠PA'Q=∠A=90°,
∴A'F==6,
∴A'B=BF-A'F=4,
在Rt△A'BP中,BP=4-2t,PA'=AP=8-(4-2t)=4+2t,
由勾股定理得:42+(4-2t)2=(4+2t)2,
解得:t=;
②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上,A'落在BC邊上時(shí),連接AA',如圖3所示:
由折疊的性質(zhì)得:A'P=AP,
∴∠APQ'=∠A'PQ,
∵AD∥BC,
∴∠AQP=∠A'PQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴AP=AQ=A'P=10,
在Rt△ABP中,由勾股定理得:BP==6,
又∵BP=2t-4,
∴2t-4=6,解得:t=5;
③當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上,A'落在CD邊上時(shí),連接AP、A'P,如圖4所示:
由折疊的性質(zhì)得:A'P=AP,A'Q=AQ=10,
在Rt△DQA'中,DQ=AD-AQ=8,
由勾股定理得:DA'==6,
∴A'C=CD-DA'=2,
在Rt△ABP和Rt△A'PC中,BP=2t-4,CP=BC-BP=18-(2t-4)=22-2t,
由勾股定理得:AP2=82+(2t-4)2,A'P2=22+(22-2t)2,
∴82+(2t-4)2=22+(22-2t)2,
解得:t=;
綜上所述,t為或5或時(shí),折疊后頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在矩形的一邊上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一直線分別于軸、軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,過點(diǎn)A的拋物線與射線AB交于另一點(diǎn)C,若將沿著CO所在的直線翻折得到,與重疊部分的面積為的.
(1)求B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用m的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)落在拋物線上時(shí),求二次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線y=x+3交x軸于A點(diǎn),交y軸于B點(diǎn),過A、B兩點(diǎn)的拋物線y=-x2+bx+c交x軸于另一點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一點(diǎn),(不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H,交直線AB于點(diǎn)F,作PG⊥AB于點(diǎn)G.求出△PFG的周長最大值;
(3)在拋物線y=-x2+bx+c上是否存在除點(diǎn)D以外的點(diǎn)M,使得△ABM與△ABD的面積相等?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員在相同條件下各射靶次,每次射靶的成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
甲:,,,,,,,,,
乙:,,,,,,,,,
丙:,,,,,,,,,
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下表:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
甲 | |||
乙 | |||
丙 |
(2)比賽時(shí)三人依次出場(chǎng),順序由抽簽方式?jīng)Q定,求甲、乙相鄰出場(chǎng)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了緩解上學(xué)時(shí)校門口的交通壓力,某校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,來了解學(xué)生的到校方式,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖表:
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所提供的信息,解答下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查中的樣本容量是 ,= .
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生到校方式是“步行”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)是 .
(3)若該校共有1500名學(xué)生,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果估計(jì)該校到校方式為“乘車”的學(xué)生人數(shù);
(4)現(xiàn)從四名采取不同到校方式的學(xué)生中抽取兩名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法,求出正好選到到校方式為“騎車”和“步行”的兩名學(xué)生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】除夕夜中央電視臺(tái)舉辦的“2019年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)”受到廣泛的關(guān)注,重慶某組織就“2019年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)”節(jié)目的喜愛程度,在解放碑進(jìn)行了問卷調(diào)查,并將問卷調(diào)查的結(jié)果分為“非常喜歡”“比較喜歡”“感覺一般”“不太喜歡”四個(gè)等級(jí),分別記作,,,;根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:
(1)此次參與調(diào)查的人數(shù)是_________,扇形統(tǒng)計(jì)圖中等級(jí)C人數(shù)對(duì)應(yīng)的圓心角是_____________度,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)結(jié)合調(diào)查結(jié)果談?wù),如果你是春晚?dǎo)演,你將如何設(shè)計(jì)節(jié)目從而提高年輕人對(duì)晚會(huì)的喜愛程度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)造了一幅“弦圖”后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖1).圖2是弦圖變化得到,它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,求S2的值.以下是求S2的值的解題過程,請(qǐng)你根據(jù)圖形補(bǔ)充完整.
解:設(shè)每個(gè)直角三角形的面積為S
S1﹣S2= (用含S的代數(shù)式表示)①
S2﹣S3= (用含S的代數(shù)式表示)②
由①,②得,S1+S3= 因?yàn)?/span>S1+S2+S3=10,
所以2S2+S2=10.
所以S2=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn)P(x,y)和Q(x,y′),給出如下定義:如果y′=,那么稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“伴隨點(diǎn)”.
例如:點(diǎn)(5,6)的“伴隨點(diǎn)”為點(diǎn)(5,6);點(diǎn)(﹣5,6)的“伴隨點(diǎn)”為點(diǎn)(﹣5,﹣6).
(1)直接寫出點(diǎn)A(2,1)的“伴隨點(diǎn)”A′的坐標(biāo).
(2)點(diǎn)B(m,m+1)在函數(shù)y=kx+3的圖象上,若其“伴隨點(diǎn)”B′的縱坐標(biāo)為2,求函數(shù)y=kx+3的解析式.
(3)點(diǎn)C、D在函數(shù)y=﹣x2+4的圖象上,且點(diǎn)C、D關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)D的“伴隨點(diǎn)”為D′.若點(diǎn)C在第一象限,且CD=DD′,求此時(shí)“伴隨點(diǎn)”D′的橫坐標(biāo).
(4)點(diǎn)E在函數(shù)y=﹣x2+n(﹣1≤x≤2)的圖象上,若其“伴隨點(diǎn)”E′的縱坐標(biāo)y′的最大值為m(1≤m≤3),直接寫出實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
已知:、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)、.
(1)求這個(gè)拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中拋物線與軸的另一交點(diǎn)為,拋物線的頂點(diǎn)為,試求出點(diǎn)、的坐標(biāo)和的面積;
(3)是線段上的一點(diǎn),過點(diǎn)作軸,與拋物線交于點(diǎn),若直線把分成面積之比為的兩部分,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo) ;
(4)若點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在平面上,直線上是否存在點(diǎn),使以點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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