Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線y=x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線y=-x2+bx+c交x軸于另一點C，點D是拋物線的頂點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交x軸于點H，交直線AB于點F，作PG⊥AB于點G．求出△PFG的周長最大值；

（3）在拋物線y=-x2+bx+c上是否存在除點D以外的點M，使得△ABM與△ABD的面積相等？若存在，請求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；；（2）△PFG周長的最大值為：； （3）M1（-2，3），M2（，），M3（，）．

【解析】

（1）將已知點的坐標代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；

（2）首先根據(jù)△PFG是等腰直角三角形，設P（m，-m2-2m+3）得到F（m，m+3），進而得到PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，從而得到△PFG周長為：-m2-3m+（-m2-3m），配方后即可確定其最大值；

（3）當DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等時，根據(jù)同底等高可以確定△ABM與△ABD的面積相等，分別求得直線DM1解析式為：y=x+5和直線M3M2解析式為：y=x+1，聯(lián)立之后求得交點坐標即可．

（1）∵直線AB：y=x+3與坐標軸交于A（-3，0）、B（0，3），

代入拋物線解析式y=-x2+bx+c中

，

∴

∴拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）∵由題意可知△PFG是等腰直角三角形，

設P（m，-m2-2m+3），

∴F（m，m+3），

∴PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，

△PFG周長為：-m2-3m+（-m2-3m），

=-（+1）（m+）2+，

∴△PFG周長的最大值為：．

（3）點M有三個位置，如圖所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面積等于△ABD的面積．

此時DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等，

∵D（-1，4），

∴E（-1，2）、則N（-1，0）

∵y=x+3中，k=1，

∴直線DM1解析式為：y=x+5，

直線M3M2解析式為：y=x+1，

∴x+5=-x2-2x+3或x+1=-x2-2x+3，

∴x1=-1，x2=-2，x3=，x4=，

∴M1（-2，3），M2（，），M3（，）．