Question

【題目】如圖（1），∠AOB＝45°，點(diǎn)P、Q分別是邊OA，OB上的兩點(diǎn)，且OP＝2cm．將∠O沿PQ折疊，點(diǎn)O落在平面內(nèi)點(diǎn)C處.

（1）①當(dāng)PC∥QB時(shí)，OQ＝ ；

②當(dāng)PC⊥QB時(shí)，求OQ的長(zhǎng).

（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，求OQ的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1） 2 （2）2＋2 ， 2－2 （3）符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè)． ①當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)部或一邊上時(shí)，OQ＝2， ，2 ②當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的外部時(shí)，OQ＝＋， －.

【解析】試題分析：（1）①由平行線的性質(zhì)得出∠O=∠CPA，由折疊的性質(zhì)得出∠C=∠O，OP=CP，證出∠CPA=∠C，得出OP∥QC，證出四邊形OPCQ是菱形，得出OQ=OP=2cm即可；
②當(dāng)PC⊥QB時(shí)，分兩種情況：設(shè)OQ=xcm，證出△OPM是等腰直角三角形，得出OM= ，證出△CQM是等腰直角三角形，得出 ，得出方程解方程即可；（ii）同（i）得出： ，即可得出結(jié)論；

（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè)；點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部或一邊上時(shí)，由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長(zhǎng)；點(diǎn)C在∠AOB的外部時(shí)，同理求出OQ的長(zhǎng)即可；

試題解析：

（1）①當(dāng)PC∥QB時(shí)，∠O=∠CPA，
由折疊的性質(zhì)得：∠C=∠O，OP=CP，
∴∠CPA=∠C，
∴OP∥QC，
∴四邊形OPCQ是平行四邊形，
∴四邊形OPCQ是菱形，
∴OQ=OP=2cm；
②當(dāng)PC⊥QB時(shí)，分兩種情況：
如圖1所示：設(shè)OQ=xcm，

∵∠O=45°，
∴△OPM是等腰直角三角形，

∴OM＝ ，

∴QM＝ ，

由折疊的性質(zhì)得：∠C=∠O=45°，CQ=OQ=x，
∴△CQM是等腰直角三角形，
∴QC＝ ，

∴ ，

解得： ，

即OQ＝ ；

（ii）如圖2所示：

同（i）得：OQ＝，

綜上所述：當(dāng)PC⊥QB時(shí)，OQ的長(zhǎng)為 或 ；

（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè)；
①點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，四邊形OPCQ是菱形，OQ=OP=2cm；
②當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的一邊上時(shí)，△OPQ是等腰直角三角形，OQ= 或 ，

③當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的外部時(shí)，分兩種情況：
（i）如圖3所示：PM=PQ，則∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ，

由折疊的性質(zhì)得：∠OPQ=∠MPQ，
設(shè)∠OPQ=∠MPQ=x，
則∠PMQ=∠PQM=45°+x，
在△OPM中，由三角形內(nèi)角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，
解得：x=30°，
∴∠OPQ=30°，
作QN⊥OP于N，設(shè)ON=a，
∵∠O=45°，
則QN=ON=a，OQ= ，PN＝ ，

∵ON+PN=OP，
∴a+ ，

解得： ，

∴OQ= ；

（ii）如圖4所示：PQ=MQ，作QN⊥OA于N，

同①得：OQ= ；

綜上所述：當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，OQ的長(zhǎng)為2cm或 。