【題目】如圖(1),AOB45°,點(diǎn)P、Q分別是邊OAOB上的兩點(diǎn),且OP2cm.將O沿PQ折疊,點(diǎn)O落在平面內(nèi)點(diǎn)C.

1當(dāng)PCQB時(shí),OQ ;

當(dāng)PCQB時(shí),求OQ的長(zhǎng).

2)當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí),求OQ的長(zhǎng).

【答案】1 2 222 , 22 3)符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè). 當(dāng)點(diǎn)CAOB內(nèi)部或一邊上時(shí),OQ2, ,2 當(dāng)點(diǎn)CAOB的外部時(shí),OQ, .

【解析】試題分析:(1由平行線的性質(zhì)得出O=CPA,由折疊的性質(zhì)得出C=O,OP=CP,證出CPA=C,得出OPQC,證出四邊形OPCQ是菱形,得出OQ=OP=2cm即可;
當(dāng)PCQB時(shí),分兩種情況:設(shè)OQ=xcm,證出OPM是等腰直角三角形,得出OM= ,證出CQM是等腰直角三角形,得出 ,得出方程解方程即可;(ii)同(i)得出: ,即可得出結(jié)論;

2)當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí),符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè);點(diǎn)CAOB的內(nèi)部或一邊上時(shí),由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長(zhǎng);點(diǎn)CAOB的外部時(shí),同理求出OQ的長(zhǎng)即可;

試題解析:

1當(dāng)PCQB時(shí),O=CPA,
由折疊的性質(zhì)得:C=OOP=CP,
∴∠CPA=C
OPQC,
四邊形OPCQ是平行四邊形,
四邊形OPCQ是菱形,
OQ=OP=2cm;
當(dāng)PCQB時(shí),分兩種情況:
如圖1所示:設(shè)OQ=xcm


∵∠O=45°,
∴△OPM是等腰直角三角形,

∴OM= ,

∴QM=

由折疊的性質(zhì)得:∠C=∠O=45°,CQ=OQ=x,
∴△CQM是等腰直角三角形,
∴QC= ,

,

解得:

即OQ= ;

(ii)如圖2所示:

同(i)得:OQ=,

綜上所述:當(dāng)PC⊥QB時(shí),OQ的長(zhǎng)為 ;

(2)當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí),符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè);
①點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部時(shí),四邊形OPCQ是菱形,OQ=OP=2cm;
②當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的一邊上時(shí),△OPQ是等腰直角三角形,OQ=

③當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的外部時(shí),分兩種情況:
(i)如圖3所示:PM=PQ,則∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ,


由折疊的性質(zhì)得:∠OPQ=∠MPQ,
設(shè)∠OPQ=∠MPQ=x,
則∠PMQ=∠PQM=45°+x,
在△OPM中,由三角形內(nèi)角和定理得:45°+x+x+45°+x=180°,
解得:x=30°,
∴∠OPQ=30°,
作QN⊥OP于N,設(shè)ON=a,
∵∠O=45°,
則QN=ON=a,OQ= ,PN= ,

∵ON+PN=OP,
∴a+

解得: ,

∴OQ= ;

(ii)如圖4所示:PQ=MQ,作QN⊥OA于N,


同①得:OQ= ;

綜上所述:當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí),OQ的長(zhǎng)為2cm或

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