【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm,BC=15cm.現(xiàn)有動點P從點A出發(fā),沿AC向點C方向運動,動點Q從點C出發(fā),沿線段CB也向點B方向運動.如果點P的速度是4cm/秒,點Q的速度是2cm/秒,它們同時出發(fā),當有一點到達所在線段的端點時,就停止運動,設(shè)運動的時間為t秒.
(1)用含t的代數(shù)式表示Rt△CPQ的面積S;
(2)當t=3秒時,P、Q兩點之間的距離是多少?
(3)當t為多少秒時,以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似?
【答案】 ; 秒或秒時,以點、、為頂點的三角形與相似.
【解析】
(1)由點P,點Q的運動速度和運動時間,又知AC,BC的長,可將CP、CQ用含t的表達式求出,代入直角三角形面積公式S△CPQ=CP×CQ求解;
(2)在Rt△CPQ中,當t=3秒,可知CP、CQ的長,運用勾股定理可將PQ的長求出;
(3)應(yīng)分兩種情況:當Rt△CPQ∽Rt△CAB時,根據(jù)=,可求出時間t;當Rt△CPQ∽Rt△CBA時,根據(jù)=,可求出時間t.
(1)由題意得:AP=4t,CQ=2t,則CP=20﹣4t,因此Rt△CPQ的面積為S=CP×CQ=(0≤t≤5);
(2)由題意得:AP=4t,CQ=2t,則CP=20﹣4t,當t=3秒時,CP=20﹣4t=8cm,CQ=2t=6cm.
在Rt△CPQ中,由勾股定理得:PQ=;
(3)由題意得:AP=4t,CQ=2t,則CP=20﹣4t.
分兩種情況討論:
①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時,,即,解得:t=3秒;
②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時,,即,解得:t=秒.
因此t=3秒或t=秒時,以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似.
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【題目】閱讀新知:化簡后,一般形式為ax4+bx2+c=0(a≠0)的方程,由于其具有只含有未知數(shù)偶次項的四次方程,我們稱其為“雙二次方程”.這類方程我們一般可以通過換元法求解.如:求解2x4-5x2+3=0的解.
解:設(shè),則原方程可化為:,解之得
當時,, ∴;
當時 ∴.
綜上,原方程的解為:,.
(1)通過上述閱讀,請你求出方程的解;
(2)判斷雙二次方程ax4+bx2+c=0(a≠0)根的情況,下列說法正確的是 (選出正確的答案).
①當b2-4ac≥0時,原方程一定有實數(shù)根;
②當b2-4ac<0時,原方程一定沒有實數(shù)根;
③原方程無實數(shù)根時,一定有b2-4ac<0.
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【題目】正方形的A1B1P1P2頂點P1、P2在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上,頂點A1、B1分別在x軸、y軸的正半軸上,再在其右側(cè)作正方形P2P3A2B2,頂點P3在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上,頂點A2在x軸的正半軸上,則點P3的坐標為 .
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【題目】閱讀下列材料,并解決問題:任意一個大于1的正整數(shù)m都可以表示為:m=p2+q(p、q是正整數(shù)),在m的所有這種表示中,如果最小時,規(guī)定:F(m)=.例如:21可以表示為:21=12+20=22+17=32+12=42+5,因為>>>,所以F(21)=.
(1)求F(33)的值;
(2)如果一個正整數(shù)n可以表示為t2-t(其中t≥2,且是正整數(shù)),那么稱n是次完全平方數(shù),證明:任何一個次完全平方數(shù)n,都有F(n)=1;
(3)一個三位自然數(shù)k,k=100a+10b+c(其中1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,且a≤c,a、b、c為整數(shù)),滿足十位上的數(shù)字恰好等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和,且k與其十位上數(shù)字的2倍之和能被9整除,求所有滿足條件的k中F(k)的最小值.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,點F在邊AC上,DF與BE相交于點G,且∠EDF=∠ABE.
求證:(1)△DEF∽△BDE;(2)DGDF=DBEF.
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【題目】小明和小亮分別從同一直線跑道A、B兩端同時相向勻速出發(fā),小明和小亮第一次相遇后,小明覺得自己速度太慢便提速至原速的倍,并勻速運動達到B端,且小明到達B端后停止運動,小亮勻速跑步到達A端后,立即按原速返回B端(忽略調(diào)頭時間),回到B端后停止運動,已知兩人相距的路程S(千米)與小亮出發(fā)時間t(秒)之間的關(guān)系如圖所示,則當小明到達B端后,經(jīng)過_____秒,小亮回到B端.
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【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)兩點.
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標;
(2)點P為拋物線上一點,若S△PAB=10,求出此時點P的坐標.
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【題目】石獅泰禾某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn),一款童裝每件進價為80元,銷售價為120元時,每天可售出20件,為了迎接“十一”國慶節(jié),商店決定采取適當?shù)慕祪r措施,以擴大銷售量,增加利潤,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件童裝降價1元,那么平均可多售出2件.
(1)設(shè)每件童裝降價x元時,每天可銷售______ 件,每件盈利______ 元;(用x的代數(shù)式表示)
(2)每件童裝降價多少元時,平均每天贏利1200元.
(3)要想平均每天贏利2000元,可能嗎?請說明理由.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的頂點A在y軸的正半軸上,坐標原點O在邊BC上,AD=6,OA、OB的長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個根.且OA>OB.
(1)求點C、D的坐標.
(2)求證:射線AO是∠BAC的平分線.
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