【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A﹣2,0),點(diǎn)B﹣3,3)及原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為C

1)求拋物線的解析式;

2)在拋物線的BC段上,是否存在一點(diǎn)G,使得GBC的面積最大?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3P是拋物線的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPMx軸,垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以PM、A為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

4)若點(diǎn)D在拋物線上,點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上,且以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1)∴拋物線的解析式為y=x22x;

(2)當(dāng)x=﹣2時(shí),SGBC=1最大,此時(shí),G(﹣2,0);

(3)符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是P1, ),P2(3,15)

(4)D1(1,3)D2(﹣3,3);D3(﹣1,﹣1).

【解析】試題分析:(1)由于拋物線經(jīng)過(guò)A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原點(diǎn)O,待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)存在一點(diǎn)G,使得△GBC的面積最大,過(guò)GGH垂直y軸交BC于點(diǎn)H,設(shè)Gx1,x2+2x),求出直線BC的解析式,表示出點(diǎn)H的坐標(biāo),用x表示出GH的長(zhǎng),構(gòu)建 出以GH和△GBC的面積為變量的二次函數(shù)模型,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;(3)分兩種情況討論,①△AMP∽△BOC,②PMA∽△BOC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。(4)分OA為平行四邊形的一邊和對(duì)角線兩種情況,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

試題解析:

1拋物線的解析式為y=x﹣2x=x2﹣2x;

2)存在一點(diǎn)G,使得△GBC的面積最大,理由如下:

理由:過(guò)GGH垂直y軸交BC于點(diǎn)H,設(shè)Gx1x2+2x),設(shè)過(guò)直線BC的解析式為y=kx+b,∵y=x﹣2x=x2﹣2x=x+12﹣1頂點(diǎn)C﹣1,﹣1),

∵B﹣3,﹣3),,,∴y=﹣2x﹣3可設(shè)點(diǎn)Hx,﹣2x﹣3∴SGBC=﹣2x﹣3﹣x2﹣2x﹣1+3=﹣x2﹣4x﹣3=﹣x+22+1

∵a=﹣10,對(duì)稱軸為x=﹣2當(dāng)x=﹣2時(shí),SGBC=1最大,此時(shí),G﹣2,0);

3)存在,點(diǎn)B在拋物線上,當(dāng)x=﹣3時(shí),y=9﹣6=3,∴B﹣3,3),

根據(jù)勾股定理得:BO2=9+9=18CO2=1+1=2;BC2=16+4=20,∴BO2+CO2=18+2=20,∴BO2+CO2=BC2,∴△BOC為直角三角形,假設(shè)存在點(diǎn)P,使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似,如圖2,設(shè)Pm,n),由題意得m0,n0,且n=m2+2m

△AMP∽△BOC,則,即,整理得:m+2=3m2+2m=0,即3m2+5m﹣2=0,解得:m1=,m2=﹣2(舍去),m1=時(shí),n=+=∴P,);

△AMP∽△COB,則,即,整理得:m2﹣m﹣6=0

解得 m1=3,m2=﹣2(舍去),當(dāng)m=3時(shí),n=9+6=15,∴P315),

綜上所述,符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是P1,),P23,15);

4)如圖3所示,分三種情況考慮:

當(dāng)D1在第一象限時(shí),若四邊形AOD1E1為平行四邊形,

∴AO=E1D1=2,

拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣1,

∴D1橫坐標(biāo)為1

x=1代入拋物線y=x2+2x=1+2=3,即D11,3);

當(dāng)D2在第二象限時(shí),同理D2﹣3,3);

當(dāng)D3在第三象限時(shí),若四邊形AE2OD3為平行四邊形,此時(shí)D3C重合,即D3﹣1,﹣1).

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評(píng)委

1號(hào)

2號(hào)

3號(hào)

4號(hào)

5號(hào)

6號(hào)

7號(hào)

評(píng)分

9.3

9.4

9.8

9.6

9.2

9.7

9.5

則這位選手的最后得分是(  )

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