Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與y軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)A，P為線段BC上一個動點(diǎn)不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合．

求拋物線的解析式；

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連結(jié)CD、PD，當(dāng)為直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

過點(diǎn)C作軸，交拋物線于點(diǎn)E，如圖2，求的最小值．

Answer 1

【答案】拋物線的解析式為；點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；的最小值為10．

【解析】

利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

根據(jù)拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸及點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為過點(diǎn)P作軸于Q，則點(diǎn)，分及兩種情況考慮：當(dāng)時，易證∽，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)時，通過解直角三角形可求出DQ、PQ的長度，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)此問得解；

連接AE，交BC于點(diǎn)F，在的內(nèi)部作，BH與AE交于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作，垂足為R，連接PE，則，進(jìn)而可得出，利用拋物線的對稱性可得出，進(jìn)而可得出，利用點(diǎn)到直線之間垂線段最短可得出當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時，等號成立，利用勾股定理及解直角三角形可求出AE、AH的長度，代入即可找出的最小值，進(jìn)而可得出的最小值．

直線與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，

，解得：，

拋物線的解析式為．

拋物線的解析式為，

拋物線的對稱軸為直線，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為過點(diǎn)P作軸于Q，則點(diǎn)．

當(dāng)時，如圖3，

，，

，

∽，

，即，

解得：，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

當(dāng)時，如圖4，

，，

，

，

，，

，，

，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

連接AE，交BC于點(diǎn)F，在的內(nèi)部作，BH與AE交于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作，垂足為R，連接PE，如圖5所示．

，

，

．

點(diǎn)C與點(diǎn)E、點(diǎn)A與點(diǎn)B均關(guān)于直線對稱，

，，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時，等號成立．

，，對稱軸為直線，

，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

，

，即的最小值為5，

的最小值為10．