Question

【題目】如圖1，將兩個(gè)等腰三角形和拼合在一起，其中，，.

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖2，固定，把繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上.

填空：線段與的關(guān)系是①位置關(guān)系：______；②數(shù)量關(guān)系：______

（2）變式探究

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）解決問(wèn)題

如圖4，已知線段，線段，以為邊作一個(gè)正方形，連接，隨著邊的變化，線段的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn).依據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)可得到，然后再由，，可得到；

（2）如圖2所示：記與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為.先證明，然后依據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)可得到，然后由，，可證明；

（3）過(guò)點(diǎn)作，取，連結(jié)，先在等腰直角中求得的長(zhǎng)，然后依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，最后依據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，故此可求得的取值范圍.

解：（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn).

在和中，，

∴.

∴，.

又∵，

∴.

∴.

故答案為：，.

（2）如圖2所示：記與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為.

∵，

∴，即.

在和中，，

∴.

∴，.

又∵，

∴.

∴.

（3）如圖3所示：過(guò)點(diǎn)作，取，連結(jié).

∵，，

∴.

∵，，

∴.

∵，

∴，即.

在和中，

∴.

∴.

∴.