Question

【題目】如圖，已知一條直線過點(0，4)，且與拋物線y＝x2交于A，B兩點，其中點A的橫坐標是－2.

(1)求這條直線的解析式及點B的坐標；

(2)在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)過線段AB上一點P，作PM∥x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N(0，1)，當點M的橫坐標為何值時，MN＋3MP的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1)y＝x＋4，B(8，16)(2)存在．點C的坐標為(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)(3)18

【解析】試題分析：（1）首先求得點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點坐標；

（2）如圖1，過點B作BG∥x軸，過點A作AG∥y軸，交點為G，然后分若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值，從而確定點C的坐標；

（3）設M（a，a2），如圖2，設MP與y軸交于點Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=a2+1，然后根據(jù)點P與點M縱坐標相同得到x=，從而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9，確定二次函數(shù)的最值即可．

試題解析：（1）y＝x＋4，B(8，16)　

（2）存在．

過點B作BG∥x軸，過點A作AG∥y軸，交點為G，

∴AG2＋BG2＝AB2，

∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝325

.設點C(m，0)，

同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，

BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320，

①若∠BAC＝90°，則AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－；

②若∠ACB＝90°，則AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6；

③若∠ABC＝90°，則AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32，

∴點C的坐標為(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　

（3）設M(a，a2)，

設MP與y軸交于點Q，在Rt△MQN中，

由勾股定理得MN＝，

又∵點P與點M縱坐標相同，

∴x＋4＝a2，

∴x= ，

∴點P的橫坐標為，

∴MP＝a－，

∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18，

∵－2≤6≤8，

∴當a＝6時，取最大值18，

∴當M的橫坐標為6時，MN＋3PM的長度的最大值是18