Question

【題目】如圖，直線與拋物線相交于和，點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．

求拋物線的解析式；

是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由；

連接AC，直接寫出為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，線段PC最大且為；（3）為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

【解析】

(1)已知B(4，m)在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過待定系數(shù)法即可求得解析式；

(2)設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，化成頂點(diǎn)式即可；

(3)當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．

在直線上，

，

，

，在拋物線上，

，解得，

拋物線的解析式為；

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，線段PC最大且為；

為直角三角形，

若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則，

由題意易知，軸，，因此這種情形不存在；

若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則，

如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)N，則，，

過點(diǎn)A作直線AB，交x軸于點(diǎn)M，則由題意易知，為等腰直角三角形，

，

，

，

設(shè)直線AM的解析式為：，

則：，解得，

直線AM的解析式為：，

又拋物線的解析式為：，

聯(lián)立式，解得：或與點(diǎn)A重合，舍去，

，即點(diǎn)C、M點(diǎn)重合，

當(dāng)時(shí)，，

；

若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則．

，

拋物線的對稱軸為直線，

如圖2，作點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)C，

則點(diǎn)C在拋物線上，且，

當(dāng)時(shí)，，

，

點(diǎn)、均在線段AB上，

綜上所述，為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或