Question

【題目】如圖，在正方形中，點E是對角線上一點，連接．過點E作交的延長線于點F．若，，則正方形的面積為______．

Answer 1

【答案】16

【解析】

由∠EHC=∠BHF，∠CEH=∠FBH=90°可判定△ECH∽△BFH，從而得到∠ECH=∠BFH；作輔助線可證明四邊形ENBM是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得EM=EN，由角角邊可證明△ENC≌△EMF，得CN=FM；因，可求MB的長度，從而求得CN和BC的長，可求出正方形ABCD的面積．

解：過點E作EN⊥BC，EM⊥AB，分別交BC、AB于N、M兩點，

且EF與BC相交于點H．

∵EF⊥CE，∠ABC=90°，∠ABC+∠HBF=180°，

∴∠CEH=∠FBH=90°，

又∵∠EHC=∠BHF，

∴△ECH∽△BFH（AA），

∴∠ECH=∠BFH，

∵EN⊥BC，EM⊥AB，四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形ENBM是正方形，

∴EM=EN，∠ENC=∠EMF=90°，

在△ENC和△EMF中

∴△ENC≌△EMF（AAS）

∴CN=FM，

又∵在正方形ENBM中，

∴MB=BN=1,

∵BF=2

∴MF=CN=1+2=3

∴BC=4

∴正方形ABCD的面積為16

故答案為：16．