Question

【題目】【再現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，可以得到：DE∥BC，且DE=BC．（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．

【應(yīng)用】在（1）【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是： ．（只添加一個條件）

（2）如圖③，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，對角線AC，BD相交于點O．若AO=OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為 ．

Answer 1

【答案】【探究】平行四邊形；【應(yīng)用】（1）添加AC=BD；（2）．

【解析】試題分析：【探究】利用三角形的中位線定理可得出HG=EF、EF∥GH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀；

【應(yīng)用】（1）同【探究】的方法判斷出EF=AC，即可判斷出EF=FG，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出S△BCD=4S△CFG，同理：S△ABD=4S△AEH，進(jìn)而得出S四邊形EFGH=，再判斷出OM=ON，進(jìn)而得出S陰影=S四邊形EFGH即可．

試題解析：解：【探究】平行四邊形．理由：如圖1，連接AC，∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，綜上可得：EF∥HG，EF=HG，故四邊形EFGH是平行四邊形．

【應(yīng)用】（1）添加AC=BD．理由：連接AC，BD，同（1）知，EF=AC，同【探究】的方法得，FG=BD，∵AC=BD，∴EF=FG，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴EFGH是菱形；

故答案為：AC=BD；

（2）如圖2，由【探究】得，四邊形EFGH是平行四邊形，∵F，G是BC，CD的中點，∴FG∥BD，FG=BD，∴△CFG∽△CBD，∴，∴S△BCD=4S△CFG，同理：S△ABD=4S△AEH，∵四邊形ABCD面積為5，∴S△BCD+S△ABD=5，∴S△CFG+S△AEH=，同理：S△DHG+S△BEF=，∴S四邊形EFGH=S四邊形ABCD﹣（S△CFG+S△AEH+S△DHG+S△BEF）=5﹣=，設(shè)A與FG，EH相交于M，N，EF與BD相交于P，∵FG∥BD，FG=BD，∴CM=OM=OC，同理：AN=ON=OA，∵OA=OC，∴OM=ON，易知，四邊形ENOP，FMOP是平行四邊形，∴S陰影=S四邊形EFGH=．故答案為： ．