【題目】如圖,直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C,直線AO與⊙O交于點(diǎn)E和點(diǎn)D,OB與⊙O交于點(diǎn)F,連接DF、DC.已知OA=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.
(1)求證:①直線AB是⊙O的切線;②∠FDC=∠EDC;
(2)求CD的長(zhǎng).
【答案】
(1)
①證明:連接OC.
∵OA=OB,AC=CB,
∴OC⊥AB,
∵點(diǎn)C在⊙O上,
∴AB是⊙O切線.
②證明:∵OA=OB,AC=CB,
∴∠AOC=∠BOC,
∵OD=OF,
∴∠ODF=∠OFD,
∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC,
∴∠BOC=∠OFD,
∴OC∥DF,
∴∠CDF=∠OCD,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ADC=∠CDF
(2)
解:作ON⊥DF于N,延長(zhǎng)DF交AB于M.
∵ON⊥DF,
∴DN=NF=3,
在RT△ODN中,∵∠OND=90°,OD=5,DN=3,
∴ON= =4,
∵∠OCM+∠CMN=180°,∠OCM=90°,
∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°,
∴四邊形OCMN是矩形,
∴ON=CM=4,MN=OC=5,
在RT△CDM中,∵∠DMC=90°,CM=4,DM=DN+MN=8,
∴CD= = =4 .
【解析】(1)①欲證明直線AB是⊙O的切線,只要證明OC⊥AB即可.②首先證明OC∥DF,再證明∠FDC=∠OCD,∠EDC=∠OCD即可;
(2)作ON⊥DF于N,延長(zhǎng)DF交AB于M,在RT△CDM中,求出DM、CM即可解決問題.本題考查切線的判定,等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、平行線的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題,屬于中考?碱}型.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有 20 筐白菜,以每筐 25 千克為標(biāo)準(zhǔn),超過或不足的分別用正、負(fù)來表示,記錄如下:
(1)與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量比較,20 筐白菜總計(jì)超過或不足多少千克?
(2)若白菜每千克售價(jià) 2 .6 元,則出售這 20 筐白菜可賣多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O在AB上,經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC相切于點(diǎn)D,與AC,AB分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),連接AD與EF相交于點(diǎn)G.
(1)求證:AD平分∠CAB;
(2)若OH⊥AD于點(diǎn)H,F(xiàn)H平分∠AFE,DG=1.
①試判斷DF與DH的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2 ,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是OC的中點(diǎn),連接BE,過點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M,交BD于點(diǎn)F,則FM的長(zhǎng)為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(8 分)2013 年 4 月起泉州市區(qū)居民生活用水開始實(shí)行階梯式計(jì)量水價(jià),據(jù)了解,此次實(shí)行的階梯式計(jì)量水價(jià)分為三級(jí)(如表所示):
例:若某用戶 2013 年 6 月份的用水量為 35 噸,按三級(jí)計(jì)算則應(yīng)交水費(fèi)為:
20×1.65+(30﹣20)×2.48+(35﹣30)×3.30=74.3(元)
(1)如果小東家 2013 年 6 月份的用水量為 20 噸,則需繳交水費(fèi)多少元?
(2)如果小明家 2013 年 7 月份的用水量為 a 噸,水價(jià)要按兩級(jí)計(jì)算,則小明家該月應(yīng)繳交水費(fèi)多少元?(用含 a 的代數(shù)式表示,并化簡(jiǎn))
(3)若一用戶 2013 年 7 月份應(yīng)該水費(fèi) 90.8 元,則該戶人家 7 月份用水多少噸?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中直線與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)C在線段OA上,將線段CB繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CD,此時(shí)點(diǎn)D恰好落在直線AB上時(shí),過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E.
求證:≌;
如圖2,將沿x軸正方向平移得,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo)及平移的距離;
若點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在直線AB上是否存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC經(jīng)過一次平移到△DFE的位置,請(qǐng)回答下列問題:
(1)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)__________,∠D=__________,BC=__________;
(2)連接CE,那么平移的方向就是__________的方向,平移的距離就是線段__________的長(zhǎng)度;
(3)連接AD,BF,BE,與線段CE相等的線段有__________.
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【題目】如圖,點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B也從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)A的速度是1單位長(zhǎng)度/秒,點(diǎn)B的速度是點(diǎn)A的速度的4倍(速度單位:?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度/秒).
(1)求請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)的位置;
(2)若A、B兩點(diǎn)在(1)中的位置,數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)P到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離之和為16,并求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)若A、B兩點(diǎn)從(1)中的位置開始,仍以原來的速度同時(shí)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)時(shí),另一點(diǎn)C同時(shí)從B點(diǎn)位置出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)遇到A點(diǎn)后,立即返回向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),遇到B點(diǎn)后又立即返回向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),如此往返,直到B點(diǎn)追上A點(diǎn)時(shí),C點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)C一直以10單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),那么點(diǎn)C從開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng),行駛的路程是多少個(gè)單位長(zhǎng)度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時(shí),將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞著矩形ABCD(AB<BC)的對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(如圖①→②→③),圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn).
(1)該學(xué)習(xí)小組中一名成員意外地發(fā)現(xiàn):在圖①(三角板的一直角邊與OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在圖③(三角板的一直角邊與OC重合)中,CN2=BN2+CD2.請(qǐng)你對(duì)這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說明理由.
(2)試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論,并說明理由.
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