【題目】如圖1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,點(diǎn)B在線段AE上,點(diǎn)C在線段AD上,如圖2,△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn).
(1)證明:BE=CD
(2)當(dāng)AC=ED時(shí),探究在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中,是否存在這樣的旋轉(zhuǎn)角α,使以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出角α的度數(shù);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)存在,角α=或或.
【解析】
(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得,,由,根據(jù)等式的性質(zhì)可得,根據(jù)SAS可證≌,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解;
(2)先由AC=ED,設(shè),,取ED的中點(diǎn)H,把各條線段表示出來,再以從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的線段是否對角線來不重不漏地討論,前兩種情況已經(jīng)有一組對邊相等,只需這組對邊平行即可,由平行線的判定,可知只需內(nèi)錯(cuò)角相等即可,繼而得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度,第3種情況,因?yàn)闆]有判定平行四邊形的現(xiàn)成條件,就先假設(shè)是平行四邊形,在此基礎(chǔ)上推得旋轉(zhuǎn)角度,再論證以這個(gè)旋轉(zhuǎn)角度為前提的四邊形是平行四邊形.
解:(1)和都是等腰直角三角形,,
,,,
∴,
∵在與中,,
≌
;
(2)∵AC=ED,設(shè),
∴,
∴,,
∴,
取ED的中點(diǎn)H,則,,
∴,
∴,
①若是四邊形的對角線,如下圖中的四邊形,
要使得四邊形是平行四邊形,已有,只需,
只需,
②若是四邊形的對角線,如下圖中的四邊形,
同理只需,
∴;
③若是四邊形的對角線,如下圖中的四邊形,
若四邊形是平行四邊形,
又∵,,
∴四邊形是正方形,
∴,,
又因?yàn)?/span>,,
∴重合,
此時(shí),
∴,
∴,
∴,
又∵
∴四邊形是平行四邊形;
綜上所述:角的度數(shù)是或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),F在CA延長線上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,則四邊形AEDF的周長為( 。
A. 16 B. 20 C. 18 D. 22
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知Rt△OAB,∠OAB=90o,∠ABO=30o,斜邊OB=4,將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o,如圖1,連接BC.
(1)ΔOBC的形狀是 ;
(2)如圖1,連接AC,作OP⊥AC,垂足為P,求OP的長度;
(3)如圖2,點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),在△OCB邊上運(yùn)動,M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動,N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動,當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動停止.已知點(diǎn)M的運(yùn)動速度為1.5單位/秒,點(diǎn)N的運(yùn)動速度為1單位/秒.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x秒,△OMN的面積為y,求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值?最大值為多少?(結(jié)果可保留根號) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B(4,0),且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P(m,n)是該拋物線上的一個(gè)動點(diǎn),連接CA,CD,PD,PB.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)△PDB的面積等于△CAD的面積時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)m>0,n>0時(shí),過點(diǎn)P作直線PE⊥y軸于點(diǎn)E交直線BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G,連接EG,請直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動,線段EG的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請畫出將△ABC向左平移4個(gè)單位長度后得到的圖形△A1B1C1;
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△A2B2C2;
(3)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,CF⊥AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E,且CF=DE.
(1)求證:△BFC≌△CED;
(2)若∠B=60°,AF=5,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),AE=2,點(diǎn)F在AD上,將△AEF沿EF折疊,當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上時(shí),折痕EF的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,邊BC長為18,高AD長為12
(1)如圖,矩形EFCH的邊GH在BC邊上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上,EF交AD于點(diǎn)K,求的值;
(2)設(shè)EH=x,矩形EFGH的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于A(m,6),B(3,n)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
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