Question

【題目】如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，直線AO與⊙O交于點E和點D，OB與⊙O交于點F，連接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．

（1）求證：①直線AB是⊙O的切線；②∠FDC=∠EDC；

（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）①欲證明直線AB是⊙O的切線，只要證明OC⊥AB即可．

②首先證明OC∥DF，再證明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD即可．

（2）作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解決問題．

試題解析：（1）①證明：連接OC．

∵OA=OB，AC=CB，∴OC⊥AB，∵點C在⊙O上，∴AB是⊙O切線．

②證明：∵OA=OB，AC=CB，∴∠AOC=∠BOC，∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，∴∠BOC=∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF=∠OCD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADC=∠CDF．

（2）作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M．

∵ON⊥DF，∴DN=NF=3，在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，∴ON==4，∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，∴四邊形OCMN是矩形，∴ON=CM=4，MN=OC=5，在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，∴CD===．