【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)yax1)(x5)(a0)的圖象與x軸交于AB兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于P點(diǎn),過(guò)其頂點(diǎn)C作直線CHx軸于點(diǎn)H

1)若∠APB30°,請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);

2)當(dāng)∠APB最大時(shí),請(qǐng)求出a的值;

3)點(diǎn)P、OC、B能否在同一個(gè)圓上?若能,請(qǐng)求出a的值,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

4)若a ,在對(duì)稱軸HC上是否存在一點(diǎn)Q,使∠AQP=∠ABP?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0)或(0);(2;(3)能,a的值為;(4)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3,3+)或(3,3).

【解析】

1)作△PAB的外接圓⊙D,連接DPDA、DB,證△ABD是等邊三角形,求A10),B5,0),得DPDAAB4,H3,0),得直線CHx3,求出D32

設(shè)P0p)(p0),由PD232+2p242,求出P的坐標(biāo);(2)作△PAB的外接圓⊙E,連接EP、EAEB,如圖2,由切線性質(zhì),得四邊形OHEP是矩形,在RtAEH中,EH,求出0P得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,),代入拋物線解析式可得;(3)連接PB,取PB中點(diǎn)F,連接FOFC,證點(diǎn)P、O、B在以點(diǎn)F為圓心、FB的長(zhǎng)為半徑的圓上,若點(diǎn)C在⊙F上,則FCFB,由拋物線解析式yax1)(x5)=ax26ax+5aax324a,得P05a),C3,﹣4a),再求F坐標(biāo),由,得,解方程可得;(4)作△PAB的外接圓⊙G,連接GP、GA,設(shè)⊙G與直線CH交于點(diǎn)Q,得∠AQP=∠ABP,當(dāng)a時(shí),點(diǎn)P0,1),設(shè)G3b)(b0),由GPGA,得32+b12=(312+b2,進(jìn)一步得G3,3),GQGA,可得點(diǎn)Q坐標(biāo)有兩種可能.

解:(1)作△PAB的外接圓⊙D,連接DP、DADB,如圖1

DPDADB,

C為拋物線頂點(diǎn)且CHx

CH為拋物線對(duì)稱軸,即CH垂直平分AB

D在直線CH

∵∠APB30°

∴∠ADB2APB60°

∴△ABD是等邊三角形

∵當(dāng)y0時(shí),ax1)(x5)=0 解得:x11,x25

A1,0),B5,0

DPDAAB4,H3,0),直線CHx3

AH2,DHAH2

D3,2

設(shè)P0,p)(p0

PD232+2p242

解得:p1,p2

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0)或(0,

2)作△PAB的外接圓⊙E,連接EP、EA、EB,如圖2

∵∠AEB2APB

∴∠AEB最大時(shí),∠APB最大

AB4是定值

EH最小時(shí),∠AEB最大,此時(shí)⊙Ey軸相切于點(diǎn)P

EPy軸于P

∴四邊形OHEP是矩形

PEOH3

EAPE3

RtAEH中,EH

OPEH

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,),代入拋物線解析式得:5a

a

3)點(diǎn)P、O、CB能在同一個(gè)圓上.

連接PB,取PB中點(diǎn)F,連接FO、FC

∵∠POB90°

OFPFFBPB

∴點(diǎn)P、O、B在以點(diǎn)F為圓心、FB的長(zhǎng)為半徑的圓上

若點(diǎn)C在⊙F上,則FCFB

∵拋物線解析式yax1)(x5)=ax26ax+5aax324a

P0,5a),C3,﹣4a

B5,0),FPB中點(diǎn)

F

解得:a1,a2=﹣(舍去)

a的值為

4)對(duì)稱軸HC上存在一點(diǎn)Q,使∠AQP=∠ABP

作△PAB的外接圓⊙G,連接GP、GA,設(shè)⊙G與直線CH交于點(diǎn)Q

∴∠AQP=∠ABP

當(dāng)a時(shí),點(diǎn)P0,1

設(shè)G3b)(b0

GP232+b12,GA2=(312+b2

GPGA

32+b12=(312+b2

解得:b3

G3,3),GQGA

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3,3+ )或(33).

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1)∠BAC的大小

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1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí),求證:四邊形ABDE是平行四邊形;

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)M重合時(shí),過(guò)點(diǎn)MMGDEEC于點(diǎn)G,連接BD、AG在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有的平行四邊形.

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2)如圖2,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,ANCM相交于點(diǎn)P,求cosCPN的值.

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