Question

【題目】如圖，將沿弦折疊，使折疊后的劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接.

（1）如圖，用尺規(guī)面出折疊后的劣弧所在圓的圓心，并求出的度數(shù)；

（2）如圖，若是的切線，，求線段的長(zhǎng)；

（3）如圖，連接，過(guò)點(diǎn)B作的重線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：.

Answer 1

【答案】（1）圖見(jiàn)解析，=60°；（2）AP=4；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

分別作AO，AB的垂直平分線，其交點(diǎn)即為劣弧所在圓的圓心，由作圖的過(guò)程可知AO，OB，，，分別為， 的半徑，可證△AO與△BO均為等邊三角形，點(diǎn)在上，則可求出，根據(jù)圓周角定理可求出的度數(shù)；
連接，證明為的直徑，則，在 中利用勾股定理可求出AP的長(zhǎng)；
延長(zhǎng)AP至M，使，連接CM，證明∽，可證明，進(jìn)一步可證明．

解：如圖1，分別作AO，AB的垂直平分線，其交點(diǎn)即為劣弧所在圓的圓心，

連接A，B，OB，
，OB，，，分別為，的半徑，
∴AO=BO===，
∴△AO與△BO均為等邊三角形，點(diǎn)在上，
∴，，

∴∠AOB=∠AO+∠BO=120°，
；

如圖2，連接，

是的切線，
∴AP⊥，
∴，
∴為圓O的直徑，
，
∴，
在 中，
；

如圖3，延長(zhǎng)AP至M，使，連接CM，

為的直徑，
，
在中，
，
，
，，
，
由知，，
，
，
即，
，
∽，
，
，
，，
．