Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M（m，n）為拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣1）．（3）定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．

【解析】（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2，由拋物線過點(diǎn)（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2．

∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4，1），

∴1=4a，解得：a=，

∴拋物線的解析式為y=（x-2）2=x2-x+1．

（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：

，解得：，，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．

作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值（如圖1所示）．

∵點(diǎn)B（4，1），直線l為y=-1，

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，-3）．

設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直線AB′的解析式為y=-x+，

當(dāng)y=-1時(shí)，有-x+=-1，

解得：x=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-1）．

（3）∵點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，

∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，

∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．

∵M(jìn)（m，n）為拋物線上一動點(diǎn)，

∴n=m2-m+1，

∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，

整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．

∵m為任意值，

∴，

∴，

∴定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．