【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),且經(jīng)過點(diǎn)(4,1),如圖,直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn),直線ly=﹣1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)在l上是否存在一點(diǎn)P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(3)知F(x0,y0)為平面內(nèi)一定點(diǎn),M(m,n)為拋物線上一動點(diǎn),且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等,求定點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x+1.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣1).(3)定點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,1).

【解析】(1)由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2,由拋物線過點(diǎn)(4,1),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

(2)聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組,通過解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′,連接AB′交直線l于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB取得最小值,根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式,再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)由點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,即可得出(1--y0)m2+(2-2x0+2y0)m+x02+y02-2y0-3=0,由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組,解之即可求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo).

1)∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2

∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(4,1),

∴1=4a,解得:a=,

∴拋物線的解析式為y=(x-2)2=x2-x+1.

(2)聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組,得:

,解得:,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1).

作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′,連接AB′交直線l于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB取得最小值(如圖1所示).

∵點(diǎn)B(4,1),直線ly=-1,

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(4,-3).

設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b(k≠0),

A(1,)、B′(4,-3)代入y=kx+b,得:

,解得:,

∴直線AB′的解析式為y=-x+

當(dāng)y=-1時(shí),有-x+=-1,

解得:x=,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,-1).

(3)∵點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等,

∴(m-x02+(n-y02=(n+1)2,

∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1.

∵M(jìn)(m,n)為拋物線上一動點(diǎn),

∴n=m2-m+1,

∴m2-2x0m+x02-2y0m2-m+1)+y02=2(m2-m+1)+1,

整理得:(1--y0)m2+(2-2x0+2y0)m+x02+y02-2y0-3=0.

∵m為任意值,

,

∴定點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,1).

練習(xí)冊系列答案
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1)操作發(fā)現(xiàn):如圖2,若∠B=∠DEC30°,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB上時(shí),填空:

線段DEAC的位置關(guān)系是   ;

設(shè)△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,S1S2的數(shù)量關(guān)系是   ;

2)猜想論證

當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí),小明猜想(1)中S1S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,請你證明小明的猜想;

3)拓展探究

如圖4,若BC3,AC2,當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中,四邊形ABDE的面積是否存在最大值?若存在,請求出來;若不存在,請說明理由.

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(1)乙隊(duì)開挖到30m時(shí),用了_____ h. 開挖6h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了____ m;

(2)請你求出:

①甲隊(duì)在的時(shí)段內(nèi),yx之間的函數(shù)關(guān)系式;

②乙隊(duì)在的時(shí)段內(nèi),yx之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)x 為何值時(shí),甲、 乙兩隊(duì)在 施工過程中所挖河渠的長度相等?

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2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

3)在光線較暗的環(huán)境下學(xué)習(xí)的學(xué)生占對應(yīng)被調(diào)查學(xué)生的比例如下表:

視力

0.350.65

0.650.95

0.951.25

1.25l.55

比例

根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校有多少學(xué)生在光線較暗的環(huán)境下學(xué)習(xí)?

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1)求點(diǎn)的坐標(biāo);

2)判斷的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

3)直接寫出的周長.

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