【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABCDEC重合放置,其中∠C90°.

1)操作發(fā)現(xiàn):如圖2,若∠B=∠DEC30°,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB上時,填空:

線段DEAC的位置關(guān)系是   ;

設(shè)△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,S1S2的數(shù)量關(guān)系是   

2)猜想論證

當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,請你證明小明的猜想;

3)拓展探究

如圖4,若BC3,AC2,當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中,四邊形ABDE的面積是否存在最大值?若存在,請求出來;若不存在,請說明理由.

【答案】1)①DEAC;②S1S2;(2)成立,證明詳見解析;(3)存在,最大值為12

【解析】

1根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ACCD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD60°,然后根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行解答;

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ACAD,再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出ACAB,然后求出ACBD,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)CAB的距離等于點(diǎn)DAC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答;

2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BCCEACCD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得ANDM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;

3)由四邊形ABDE的面積=SABC+SBDC+SACE+SDCE2××2×3+2SBDC,則△BDC的面積最大時,四邊形ABDE的面積最大,即可求解.

1DEAC

理由如下:

∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上,

ACCD

∵∠BAC90°﹣∠B90°﹣30°=60°,

∴△ACD是等邊三角形,

∴∠ACD60°,

又∵∠CDE=∠BAC60°,

∴∠ACD=∠CDE

DEAC;

∵∠B30°,∠C90°,

CDACAB

BDADAC,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),△ACD的邊AC、AD上的高相等,

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),

S1S2;

故答案為:DEAC;S1S2;

2)如圖3,作點(diǎn)DDMBCM,過點(diǎn)AANCEN,

∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到,

BCCE,ACCD

∵∠ACN+BCN90°,∠DCM+BCN180°﹣90°=90°,

∴∠ACN=∠DCM,

在△ACN和△DCM中,

,

∴△ACN≌△DCMAAS),

ANDM

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),

S1S2

3)∵四邊形ABDE的面積=SABC+SBDC+SACE+SDCE2××2×3+2SBDC,

∴△BDC的面積最大時,四邊形ABDE的面積最大,

∴當(dāng)CDBC時,△BDC的面積最大值為×2×33,

∴四邊形ABDE的面積最大值=2××2×3+2×36+612

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(3)知F(x0,y0)為平面內(nèi)一定點(diǎn),M(m,n)為拋物線上一動點(diǎn),且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等,求定點(diǎn)F的坐標(biāo).

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