Question

【題目】【感知】如圖①，△ABC是等邊三角形，CM是外角∠ACD的平分線(xiàn)，E是邊BC中點(diǎn)，在CM上截取CF=BE，連接AE、EF、AF.易證：△AEF是等邊三角形（不需要證明）.

【探究】如圖②，△ABC是等邊三角形，CM是外角∠ACD的平分線(xiàn)，E是邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），在CM上截取CF=BE，連接AE、EF、AF.求證：△AEF是等邊三角形.

【應(yīng)用】將圖②中的“E是邊BC上一點(diǎn)”改為“E是邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)”，其他條件不變.當(dāng)四邊形ACEF是軸對(duì)稱(chēng)圖形，且AB=2時(shí)，請(qǐng)借助備用圖，直接寫(xiě)出四邊形ACEF的周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】【探究】見(jiàn)解析；【應(yīng)用】

【解析】試題分析：【探究】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再證明∠EAF=60°，即可得到結(jié)論；

【應(yīng)用】先證明△AEF為等邊三角形，得到不可能以AE所在的直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，只能以CF為對(duì)稱(chēng)軸，從而得到∠BAE=90°，以及AE的值，即可得到結(jié)論

試題解析：解：【探究】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACD=120°．∵CM是外角∠ACD的平分線(xiàn)，∴，∴∠B=∠ACF=60°．∵CF=BE，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF．∵∠BAC=60°，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF +∠EAC，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形．

【應(yīng)用】由題意得：△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，∴∠FAE=∠BAC=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴AE=AF=EF，∴不可能以AE所在的直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，即以CF為對(duì)稱(chēng)軸．∵AB=2，∴AC=CE=2，∴AC=BC=CE，∴∠BAE=90°，∴AE=，∴四邊形ACEF的周長(zhǎng)為： =．