Question

【題目】在中，，，點在射線上（不與點、點重合），將線段繞逆時針旋轉得到線段，作射線與射線，兩射線交于點．

（1）若點在線段上，如圖1，請直接寫出與的關系．

（2）若點在線段的延長線上，如圖2，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．

（3）在（2）的條件下，連接，為的中點，連接，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）結論仍然成立；理由見解析；（3）．

【解析】

（1）首先通過等腰直角三角形的性質和旋轉的性質證明，則有，，進而可得出，則可證明，再利用等腰直角三角形的性質得出，則可證明；

（2）首先通過等腰直角三角形的性質和旋轉的性質證明，則有，，進而可得出，則可證明，再利用等腰直角三角形的性質得出，則可證明；

（3）過點作于點，過點作于，首先通過等腰直角三角形解出BC,CF,AN,CN的長度，然后利用求出EN的長度，進而可求出EC,EF的長度，再利用求出HG,EF的長度，進而可求FH的長度，最后利用勾股定理即可求解．

解：（1），，

理由如下：∵，，

∴．

∵將線段繞逆時針旋轉得到線段，

∴，，

∴，且，，

∴

∴，，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴；

（2）結論仍然成立，

理由如下：∵，，

∴．

∵將線段繞逆時針旋轉得到線段，

∴，，

∴，且，，

∴

∴，，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴；

（3）如圖，過點作于點，過點作于，

∵，

∴．

∵，，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴，且，

∴，，

∴，

∴．