【題目】如圖1,已知△OAB△OBC、△OCD△ODE、△OEF△OFA均為邊長為a的等邊三角形,點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn),過PPM∥ABAFM,作PN∥CDDEN

1)那么∠MPN=______,并求證PM+PN=3a

2)如圖2,聯(lián)結(jié)OMON.求證:OM=ON;

3)如圖3,OG平分∠MON,判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形,并說明理由.

【答案】60°;

【解析】1)由∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC即可得出∠MPN的度數(shù);作AG⊥MP交MP于點(diǎn)G,BH⊥MP于點(diǎn)H,CL⊥PN于點(diǎn)L,DK⊥PN于點(diǎn)K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解;

(2)由SAS證明△OMA≌△ONE,得出對應(yīng)邊相等即可;

(3)由△OMA≌△ONE得出∠MOA=∠EON,再證出△GOE≌△NOD,得出OG=ON,由△ONG是等邊三角形和△MOG是等邊三角形即可得出四邊形MONG是菱形.

(1)解:∵△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均為邊長為a的等邊三角形

∴六邊形ABCDEF是邊長為a的正六邊形,

∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°

又∴PM∥AB,PN∥CD,

∴∠BPM=60°,∠NPC=60°,

∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°,

故答案為:60°;

作AG⊥MP交MP于點(diǎn)G,BH⊥MP于點(diǎn)H,CL⊥PN于點(diǎn)L,DK⊥PN于點(diǎn)K,如圖所示:

MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN

∵正六邊形ABCDEF中,PM∥AB,作PN∥CD,

∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°

∴GM=AM,HP=BPPL=PC,NK=ND

∵AM=BP,PC=DN

∴MG+HP+PL+KN=a,GH=LK=a

∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a

(2)證明:由(1)得:六邊形ABCDEF是正六邊形,AB∥MP,PN∥DC,

∴AM=BP=EN

∵∠MAO=∠OEN=60°,OA=OE,

在△OMA和△ONE中,

∴△OMA≌△ONESAS

∴OM=ON

(3)解:四邊形MONG是菱形;理由如下:

由(2)得,△OMA≌△ONE,

∴∠MOA=∠EON

∵EF∥AO,AF∥OE

∴四邊形AOEF是平行四邊形,

∴∠AFE=∠AOE=120°

∴∠MON=120°,

∴∠GON=60°,

∵∠GOE=60°﹣∠EON,∠DON=60°﹣∠EON,

∴∠GOE=∠DON

∵OD=OE,∠ODN=∠OEG

在△GOE和△DON中,

∴△GOE≌△NODASA),

∴OG=ON

又∵∠GON=60°,

∴△ONG是等邊三角形,

∴ON=NG,

又∵OM=ON,∠MOG=60°,

∴△MOG是等邊三角形,

∴MG=GO=MO,

∴MO=ON=NG=MG

∴四邊形MONG是菱形.

“點(diǎn)睛”本題是四邊形的綜合題目,考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識;本題綜合性強(qiáng),難度較大,需要多次證明三角形全等和等邊三角形才能得出結(jié)論.

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(1)分別求直線l1與x軸,直線l2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo);

(2)已知點(diǎn)M在第一象限,且是直線l2上的點(diǎn),若△APM是等腰直角三角形,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

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A. 6 B. C. D.

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