Question

如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）使∠APB=30°的點(diǎn)P有　 　個(gè)；

（2）若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB是否有最大值？若有，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說(shuō)明此時(shí)∠APB最大的理由；若沒(méi)有，也請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

    解：（1）以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，

以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點(diǎn)P₁、P₂．

在優(yōu)弧AP₁B上任取一點(diǎn)P，如圖1，

則∠APB=∠ACB=×60°=30°．

∴使∠APB=30°的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)．

故答案為：無(wú)數(shù)．

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，如圖1．

∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（5，0），

∴OA=1，OB=5．

∴AB=4．

∵點(diǎn)C為圓心，CG⊥AB，

∴AG=BG=AB=2．

∴OG=OA+AG=3．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC=AB=4．

∴CG=

=

=2．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）．

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，連接CP₂，如圖1，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），

∴CD=3，OD=2．

∵P₁、P₂是⊙C與y軸的交點(diǎn)，

∴∠AP₁B=∠AP₂B=30°．

∵CP₂=CA=4，CD=3，

∴DP₂==．

∵點(diǎn)C為圓心，CD⊥P₁P₂，

∴P₁D=P₂D=．

∴P₂（0，2﹣）．P₁（0，2+）．

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，

同理可得：P₃（0，﹣2﹣）．P₄（0，﹣2+）．

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：

（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．

（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)A、B的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大．

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，

連接EA，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2．

∵⊙E與y軸相切于點(diǎn)P，

∴PE⊥OP．

∵EH⊥AB，OP⊥OH，

∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．

∴四邊形OPEH是矩形．

∴OP=EH，PE=OH=3．

∴EA=3．

∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，

∴EH=

=

=

∴OP=

∴P（0，）．

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，

同理可得：P（0，﹣）．

理由：

①若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，

在y軸的正半軸上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），

連接MA，MB，交⊙E于點(diǎn)N，連接NA，如圖2所示．

∵∠ANB是△AMN的外角，

∴∠ANB＞∠AMB．

∵∠APB=∠ANB，

∴∠APB＞∠AMB．

②若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，

同理可證得：∠APB＞∠AMB．

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB有最大值，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，﹣）．