Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0， 3）。

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為拋物線在第二象限上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；

（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），

∴可設拋物線的解析式為：，

      將C點坐標（0， 3）代入，得：，解得 。

∴拋物線的解析式為：，即。

       

∴PN=PE﹣NE=（）﹣（）=﹣x²﹣3x。

∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，

∴。

∴當x= 時，S有最大值，此時點P的坐標為（，）。

（3）在y軸上存在點M，能夠使得△ADE是等腰直角三角形。理由如下：

∵，∴頂點D的坐標為（﹣1， 4）。

【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法的應用，曲線上點的坐標與方程的關系，由實際問題列函數(shù)關系式，二次函數(shù)的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理和逆定理。