【題目】勾股定理是數(shù)學史上非常重要的一個定理.早在多年以前,人們就開始對它進行研究,至今已有幾百種證明方法.在歐幾里得編的《原本》中證明勾股定理的方法如下,請同學們仔細閱讀并解答相關(guān)問題:如圖,分別以的三邊為邊長,向外作正方形、、.

1)連接,求證:

2)過點的垂線,交于點,交于點.

①試說明四邊形與正方形的面積相等;

②請直接寫出圖中與正方形的面積相等的四邊形.

3)由第(2)題可得:正方形的面積正方形的面積_______________的面積,即在中,__________________.

【答案】(1)詳見解析;(2)①詳見解析;②四邊形與正方形的面積相等;(3)正方形.

【解析】

1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理,即可得到結(jié)論;

(2)①由得四邊形的面積為的面積的倍,同理正方形的面積為的面積的倍,結(jié)合,即可得到結(jié)論;

②連接AF,BH,先證ACFHCBSAS),再類似①題的方法,即可得到結(jié)論;

(3)由四邊形與正方形的面積相等四邊形與正方形的面積相等,即可得到答案.

1)∵四邊形、四邊形是正方形,

∴∠BAE=CAI=90°,AE=AB,AC=AI,

∴∠EAC=BAI

中,

,

SAS);

2)①∵BMAC,

,

∴四邊形的面積=的面積的倍,

同理:正方形的面積=的面積的倍,

,

四邊形與正方形的面積相等

②四邊形與正方形的面積相等,理由如下:

連接AF,BH,

∵四邊形、四邊形是正方形,

AC=HCBC=FC,ACB=BCF,即:∠ACF=HCB,

ACFHCBSAS),

BNHC,

∴四邊形的面積是HCB面積的2倍,

同理:正方形的面積是ACF面積的2倍,

∴四邊形與正方形的面積相等;

3)由(2)可知:四邊形與正方形的面積相等,四邊形與正方形的面積相等,

∴正方形的面積正方形的面積正方形的面積,

即:

故答案是:正方形,

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