Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為直線x=1，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)P，交拋物線于另一點(diǎn)B，點(diǎn)A、B位于點(diǎn)P的同側(cè)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若PA：PB=3：1，求一次函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)k＞0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使得⊙C同時(shí)與x軸和直線AP都相切，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣ x2+ x+3;(2) y= x+2;(3) 存在,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，5 ﹣10）或（1，﹣5 ﹣10）．

【解析】試題分析: （1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=1可求出m的值，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出n值，此題得解；

（2）根據(jù)P、A、B三點(diǎn)共線以及PA：PB=3：1結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AP的解析式；

（3）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，依照題意畫出圖形，根據(jù)角的計(jì)算找出∠DCF=∠EPF，再通過解直角三角形找出關(guān)于r的一元一次方程，解方程求出r值，將其代入點(diǎn)C的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

試題解析:

解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，

∴﹣ =1，解得：m= ．

將點(diǎn)A（2，3）代入y=﹣ x2+ x+n中，

3=﹣1+1+n，解得：n=3，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+3．

（2）∵P、A、B三點(diǎn)共線，PA：PB=3：1，且點(diǎn)A、B位于點(diǎn)P的同側(cè)，

∴yA﹣yP=3yB﹣yP，

又∵點(diǎn)P為x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)A（2，3），

∴yB=1．

當(dāng)y=1時(shí)，有﹣x2+x+3=1，

解得：x1=﹣2，x2=4（舍去），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，1）．

將點(diǎn)A（2，3）、B（﹣2，1）代入y=kx+b中，

，解得： ，

∴一次函數(shù)的解析式y(tǒng)= x+2．

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，r）．

∵k＞0，

∴直線AP的解析式為y=x+2．

當(dāng)y=0時(shí)， x+2=0，

解得：x=﹣4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，0），

當(dāng)x=1時(shí)，y= ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1， ）．

令⊙與直線AP的切點(diǎn)為F，與x軸的切點(diǎn)為E，拋物線的對(duì)稱軸與直線AP的交點(diǎn)為D，連接CF，如圖所示．

∵∠PFC=∠PEC=90°，∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°，

∴∠DCF=∠EPF．

在Rt△CDF中，tan∠DCF=tan∠EPF= ，CD= ﹣r，

∴CD= CF= |r|= ﹣r，

解得：r=5 ﹣10或r=﹣5 ﹣10．

故當(dāng)k＞0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)C，使得⊙C同時(shí)與x軸和直線AP都相切，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，5 ﹣10）或（1，﹣5 ﹣10）．