Question

【題目】如圖1，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系x O y中的點(diǎn)A和點(diǎn)P，若將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)Q，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”.

(1) △PAQ是__________三角形;

(2)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0, 0），點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”為點(diǎn)Q

①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2, 0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為___________；

②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2, 1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________；

(3)如圖2, 已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3, 0），點(diǎn)C在直線y=2x上,若點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)D的“垂鏈點(diǎn)”在坐標(biāo)軸上，試求點(diǎn)C的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）等腰直角；（2）①(0, -2)；②(-1, -2)；（3）點(diǎn)C坐標(biāo)（3,6）或（, -3）.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到AP=AQ，∠PAQ=90°，即可得到答案；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“垂鏈點(diǎn)”的定義，分別求出點(diǎn)Q和點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；

（3）①當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，則點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)D的“垂鏈點(diǎn)”在x軸上，則CD⊥x軸，即可求解；②當(dāng)點(diǎn)C在第三象限時(shí)，證明△CDH≌△DOC1（AAS），得到CH=OD=3，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，AP=AQ，∠PAQ=90°，

∴△PAQ是等腰直角三角形；

故答案為：等腰直角；

（2）∵點(diǎn)A為（0，0），即為原點(diǎn)，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“垂鏈點(diǎn)”的定義，得

①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）；

②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）；

故答案為：①（）；②（）；

（3）根據(jù)題意，點(diǎn)D為（3，0）；

①當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，則點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)D的“垂鏈點(diǎn)”在x軸上，

∴CD⊥x軸，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，

∵點(diǎn)C在直線y=2x上，則y=6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（3，6）；

②當(dāng)點(diǎn)C在第三象限時(shí)，則“垂鏈點(diǎn)”C1在y軸上，

過點(diǎn)C作CH⊥x軸，交點(diǎn)為H，如圖：

∵CH⊥x軸，∠CDC1=90°，

∴∠CHD=∠DOC1=90°，

∴∠CDH+∠HDC1=∠CDC1=90°，∠HDC1+∠OC1D=90°，

∴∠CDH=∠OC1D，

∵CD=C1D，

∴△CDH≌△DOC1（AAS），

∴CH=OD=3，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，

把代入y=2x，解得：，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，）；

綜合上述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（3，6）或（，）.