Question

【題目】如圖，半圓O直徑DE=12，Rt△ABC中，BC=12，∠ACB=90°，∠ABC=30°．半圓O從左到右運動，在運動過程中，點D，E始終在直線BC上，半圓O在△ABC的左側(cè)．

（1）當△ABC的一邊與半圓O相切時，請畫出符合題意得圖形．

（2）當△ABC的一邊與半圓O相切時，如果半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC的三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）9π或9+6π．

【解析】

試題分析：（1）因為點D，E始終在直線BC，所以當△ABC的一邊與半圓O相切時只有三種情況，再分別畫出即可；

（2）本題要分當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有圖2與圖3所示的兩種情形分別計算即可．

解：（1）如圖所示：

（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有圖2與圖3所示的兩種情形．

①如圖2，設OA與半圓O的交點為M，易知重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，所求重疊部分面積為：S扇形EOM=π×62=9π（cm2）

②如圖3，設AB與半圓O的交點為P，連接OP，過點O作OH⊥AB，垂足為H．

則PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6cm

則OH=3cm，BH=3cm，BP=6cm，S△POB=×6×3=9（cm2）

又因為∠DOP=2∠DBP=60°

所以S扇形DOP=6π（cm2）

所求重疊部分面積為：S△POB+S扇形DOP=9+6π（cm2），

綜上可知當半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC的三邊圍成的區(qū)域有重疊部分則重疊部分的面積是9π或9+6π．