Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△OAB的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），且△OAB的面積為4$\sqrt{3}$．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿著射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿X軸正半軸運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，過點(diǎn)P作PH⊥X軸于點(diǎn)H，設(shè)HQ的長(zhǎng)度為y個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，取BQ的中點(diǎn)M，求HM的長(zhǎng)度；
（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠PQB=30°時(shí)，求點(diǎn)P、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的值，并直接寫出此時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥OB于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OH、AH，確定A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）作AE⊥OB于E，證明△BPH∽△BAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，由△ABO是等邊三角形，得到∠ABO=60°，推出△PBQ是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；當(dāng)P在射線AB上時(shí)，連接PQ，由△ABO是等邊三角形，得到∠PBQ=∠ABO=60°，推出△PQB是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）作AH⊥OB于H，
∵△OAB是等邊三角形，OB=4，
∴OH=2，AH=2$\sqrt{3}$，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）作AE⊥OB于E，
則PH∥AE，
∴△BPH∽△BAE，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BH}{BE}$，即$\frac{4-2t}{4}$=$\frac{BH}{2}$，
解得，BH=2-t，
∴HM=BH+BM=2-t+t=2；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖3，
∵△ABO是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∵∠PQB=30°，
∴∠BPQ=30°，
∴∠PQB=∠BPQ，
∴PB=BQ，
即4-2t=2t，
∴t=1，
當(dāng)P在射線AB上時(shí)，如圖4，連接PQ，
∵△ABO是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠PBQ=∠ABO=60°，
∵∠PQB=30°，
∴∠BPQ=90°，
∴BQ=2PB，
即2t=2（2t-4），
∴t=4，
∴當(dāng)t=1或4時(shí)，∠PQB=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．