【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,垂足為H,D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),在AD的右側(cè)作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)求證:∠ABC=∠ACB;
(2)當(dāng)D在線段BC上時(shí),
①求證:△BAD≌△CAE;②當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),AC⊥DE,并說明理由;
(3)當(dāng)CE∥AB時(shí),若△ABD中最小角為20°,試探究∠ADB的度數(shù).(直接寫出結(jié)果,無需寫出求解過程)
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)(H點(diǎn))時(shí),AC⊥DE,理由見解析;(3)20°或40°或100°
【解析】
(1)證明Rt△AHB≌Rt△AHC(HL),即可解決問題.
(2)①根據(jù)SAS即可證明;②D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)(H點(diǎn))時(shí),AC⊥DE;利用等腰三角形的三線合一即可證明;
(3)分三種情形分別求解即可解決問題;
解:(1)∵AB=AC,AH⊥BC,
∴∠AHB=∠AHC=90°,
在Rt△AHB和Rt△ACH中,
∴Rt△AHB≌Rt△AHC(HL),
∴∠ABC=∠ACB.
(2)①如圖1中,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE.
②D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)(H點(diǎn))時(shí),AC⊥DE;
理由:如圖2中,∵AB=AC,AH⊥BC,
∴∠BAH=∠CAH,
∵∠BAH=∠CAE,
∴∠CAH=∠CAE,
∵AH=AE,
∴AC⊥DE.
(3)∠ADB的度數(shù)為20°或40°或100°.
理由:①如圖3中,當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時(shí),
∵CE∥AB,
∴∠BAE=∠AEC,∠BCE=∠ABC,
∵△DAB≌△EAC,
∴∠ADB=∠AEC,∠ABD=∠ACE,
∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°
∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°,則∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°.
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),最小角只能是∠DAB=20°,此時(shí)∠ADB=180°-20°-60°=100°.
③當(dāng)點(diǎn)D在BC 延長線上時(shí),最小角只能是∠ADB=20°,
綜上所述,滿足條件的∠ABD的值為20°或40°或100°.
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【題目】雅美服裝廠有A種布料70m,B種布料52米.現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn)M、N兩種型號(hào)的時(shí)裝共80套,已知做一套M型號(hào)的時(shí)裝共需A種布料0.6m,B種布料0.9m;做一套N型號(hào)的時(shí)裝需要A種布料1.1m,B種布料0.4m.
(1)設(shè)生產(chǎn)x套M型號(hào)的時(shí)裝,寫出x應(yīng)滿足的不等式組;
(2)有哪幾種符合題意的生產(chǎn)方案?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB于點(diǎn)E,交AC的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:DE⊥AB;
(2)若tan∠BDE=, CF=3,求DF的長.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象拋物線與軸相交于不同的兩點(diǎn),,且,
(1)若拋物線的對(duì)稱軸為求的值;
(2)若,求的取值范圍;
(3)若該拋物線與軸相交于點(diǎn)D,連接BD,且∠OBD=60°,拋物線的對(duì)稱軸與軸相交點(diǎn)E,點(diǎn)F是直線上的一點(diǎn),點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為,連接AF,滿足∠ADB=∠AFE,求該二次函數(shù)的解析式.
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【題目】一個(gè)不透明的布袋里裝有4個(gè)大小、質(zhì)地均相同的乒乓球,每個(gè)球上面分別標(biāo)有1,2,3,4.小林先從布袋中隨機(jī)抽取一個(gè)乒乓球(不放回去),再從剩下的3個(gè)球中隨機(jī)抽取第二個(gè)乒乓球.
(1)請(qǐng)你用樹狀圖或列表法列出所有可能的結(jié)果;
(2)求兩次取得乒乓球的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率.
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【題目】如圖,下列4個(gè)三角形中,均有AB=AC,則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是( )
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
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【題目】如圖,已知A、B、C、D是正方形網(wǎng)格紙上的四個(gè)格點(diǎn),根據(jù)要求在網(wǎng)格中畫圖并標(biāo)注相關(guān)字母.
①畫線段AB;
②畫射線CA、直線AD;
③過點(diǎn)B畫AD的平行線BE;
④過點(diǎn)D畫AC的垂線,垂足為F.
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【題目】(1)敘述并證明三角形內(nèi)角和定理(證明用圖 1);
(2)如圖 2 是七角星形,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度數(shù).
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【題目】如圖1,△ABC中,AB=AC,過B點(diǎn)作射線BE,過C點(diǎn)作射線CF,使∠ABE=∠ACF,且射線BE,CF交于點(diǎn)D,過A點(diǎn)作AM⊥BD于M.
(1)探究∠BDC和∠CAB的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
(2)求證:BM=DM+DC;
(3)如圖2,將射線BE,CF分別繞點(diǎn)B和點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖位置,若∠ABE=∠ACF仍然成立,射線BE交射線CF的反向延長線于點(diǎn)D,過A點(diǎn)作AM⊥BD于M.請(qǐng)問(2)中的結(jié)論是否還成立?如果成立,請(qǐng)證明.如果不成立,線段BM,DM,DC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
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