Question

【題目】如圖，正比例函數(shù)y＝x與一次函數(shù)y＝ax+7的圖象相交于點(diǎn)P（4，n），過(guò)點(diǎn)A（2，0）作x軸的垂線，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，連接OB．

（1）求a值；

（2）求△OBP的面積；

（3）在坐標(biāo)軸的正半軸上存在點(diǎn)Q，使△POQ是以OP為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a=-1；（2）7；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）

【解析】

（1）先由點(diǎn)P在正比例函數(shù)圖象上求得n的值，再把點(diǎn)P坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出結(jié)果；

（2）易求點(diǎn)B坐標(biāo)，設(shè)直線AB與OP交于點(diǎn)C，如圖，則點(diǎn)C坐標(biāo)可得，然后利用△OBP的面積＝S△BCO+S△BCP代入相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算即可求出結(jié)果；

（3）先根據(jù)勾股定理求出OP的長(zhǎng)，再分兩種情況：當(dāng)OP=OQ時(shí)，以O為圓心，OP為半徑作圓分別交y軸和x軸的正半軸于點(diǎn)Q1、Q2，如圖2，則點(diǎn)Q1、Q2即為所求，然后利用等腰三角形的定義即可求出結(jié)果；當(dāng)PO=PQ時(shí)，以P為圓心，OP為半徑作圓分別交y軸和x軸的正半軸于點(diǎn)Q4、Q3，如圖3，則點(diǎn)Q4、Q3也為所求，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．

解：（1）把點(diǎn)P（4，n）代入y＝x，得：n＝×4＝3，∴P（4，3），

把P（4，3）代入y＝ax+7得，3＝4a+7，∴a＝﹣1；

（2）∵A（2，0），AB⊥x軸，∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

∵點(diǎn)B在y＝﹣x+7上，∴B（2，5），

設(shè)直線AB與OP交于點(diǎn)C，如圖1，當(dāng)x=2時(shí)，，∴C（2，），

∴△OBP的面積＝S△BCO+S△BCP＝2×（5﹣）+（4﹣2）×（5﹣）＝7；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，∵P（4，3），∴OD=4，PD=3，∴，

當(dāng)OP=OQ時(shí)，以O為圓心，OP為半徑作圓分別交y軸和x軸的正半軸于點(diǎn)Q1、Q2，如圖2，則點(diǎn)Q1、Q2即為所求，且Q2（5，0）、Q1（0，5）；

當(dāng)PO=PQ時(shí)，以P為圓心，OP為半徑作圓分別交y軸和x軸的正半軸于點(diǎn)Q4、Q3，如圖3，則點(diǎn)Q4、Q3也為所求，

由于PO=PQ3，∴DQ3=DO=4，∴Q3（8，0），

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，同理可得：FQ4=FO=3，∴Q4（0，6）．

綜上所述，在坐標(biāo)軸的正半軸上存在點(diǎn)Q，使△POQ是以OP為腰的等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）．