Question

如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點 H，且tan∠AHO=2．點N（a，1）是反比例函數y=

k

x

（x＞0）圖象上的點，若點P是在x軸上且使得PM+PN的長最小，則點P的坐標為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：綜合題

分析：先由y=2x+2確定A點坐標為（0，2），再利用正切的定義由tan∠AHO=

OA

OH

=2可計算出OH=1，則可確定M點坐標為（1，4），接著利用待定系數法得到反比例函數解析式為y=

4

x

，于是把N（a，4）代入y=

4

x

得a=1，則N點坐標為（4，1）；作M點關于x軸的對稱點M′，則M′的坐標為（1，-4），由于點P是在x軸上且使得PM+PN的長最小，則點P為直線NM′與x軸的交點，然后利用待定系數法確定直線NM′的解析式為y=

5

3

x-

17

3

，最后根據x軸上的坐標特點可確定P點坐標．

解答：解：把x=0代入y=2x+2得y=2，則A點坐標為（0，2），
在Rt△AOH中，OA=2，tan∠AHO=

OA

OH

=2，
∴OH=1，
把x=1代入y=2x+2得y=4，
∴M點坐標為（1，4），
把M（1，4）代入y=

k

x

得k=1×4=4，
∴反比例函數解析式為y=

4

x

，
把N（a，4）代入y=

4

x

得4a=4，解得a=1，
∴N點坐標為（4，1），
作M點關于x軸的對稱點M′，如圖，則M′的坐標為（1，-4），
∵點P是在x軸上且使得PM+PN的長最小，
∴點P為直線NM′與x軸的交點，
設直線NM′的解析式為y=mx+n，
把M′（1，-4）、N（4，1）代入得

m+n=-4 4m+n=1

，
解得

m= 5 3 n=- 17 3

，
∴直線NM′的解析式為y=

5

3

x-

17

3

，
把y=0代入得

5

3

x-

17

3

=0，解得x=

17

5

，
∴P點坐標為（

17

5

，0）．
故答案為（

17

5

，0）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題，掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求函數解析式和銳角三角形函數的定義；熟練運用兩點之間線段最短解決幾何中關于距離最小的問題．