Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E為AB邊的中點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BDE，連接AD，CD．

（1）求證：△ADE≌△CDB；

（2）若BC＝1，在AC邊上找一點(diǎn)H，使得BH+EH最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),三邊相等,各角為60°,與直角三角形的性質(zhì),和斜邊上的中線等于斜邊的一半的定理,可得AE＝DE＝DB＝BC，∠DBC＝∠AED＝120°,即可證明.

（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的公理,做出B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′, 連接B′E,通過(guò)計(jì)算求出即可.

如圖：

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴BC＝AB．∠ABC＝60°．

∵E為AB邊的中點(diǎn)，

∴AE＝BE，

∵△BDE是等邊三角形，

∴BE＝BD＝DE，∠DBE＝∠DEB＝60°，

∴AE＝DE＝DB＝BC，∠DBC＝∠AED＝120°，

∴△ADE≌△CDB（SAS）．

（2）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E交AC于點(diǎn)H，

此時(shí)BH＝B′H，B′E＝B′H+HE＝BH+HE最�。�

∵BC＝1，BB′＝2，∴B′H＝．

答：這個(gè)最小值為．