Question

如圖，拋物線y=﹣x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D．

（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設(shè)點P的橫坐標為m；

①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？

②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

（3）在拋物線上是否存在點G，使△DGB為直角三角形？若存在，請直接寫出G點的坐標；若不存在，請說明理由．

　

　

Answer 1

解：（1）令y=0，則﹣x²+2x+3=﹣（x+1）（x﹣3）=0，

解得x=﹣1或x=3，則A（﹣1，0），B（3，0）．

拋物線的對稱軸是：直線x=1．

令x=0，則y=0，則C（0，3）．

綜上所述，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線的對稱軸是x=1；

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：，

解得：．

所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x+3．

當x=1時，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2）．

當x=m時，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x²+2x+3中，當x=1時，y=4．

∴D（1，4）

當x=m時，y=﹣m²+2m+3，

∴F（m，﹣m²+2m+3）

∴線段DE=4﹣2=2，

線段PF=﹣m²+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m²+3m

∵PF∥DE，

∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形．

由﹣m²+3m=2，

解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．

因此，當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設(shè)直線PF與x軸交于點M，由B（3，0），O（0，0），

可得：OB=OM+MB=3．

∵S=S_△BPF+S_△CPF

即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．

∴S=×3（﹣m²+3m）=﹣m²+m（0≤m≤3）．

（3）∵點B（3，0），D（1，4），

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6，

Ⅰ：當以BD為直角邊且B為頂點時，設(shè)直線BG₁的解析式為y=x+b，

∵經(jīng)過B（3，0），

∴直線BG₁的解析式為y=x﹣，

∴x﹣=﹣x²+2x+3，

解得：x=﹣或x=3（舍去），

將x=﹣代入y=﹣x²+2x+3得y=，

∴G₁的坐標為（﹣，）；

Ⅱ：當以BD為直角邊且D為頂點時，設(shè)直線BG₂的解析式為y=x+b，

∵經(jīng)過D（1，4），

∴直線BG₂的解析式為y=x+，

∴x+=﹣x²+2x+3，

解得：x=或x=1（舍去），

將x=代入y=﹣x²+2x+3得y=，

∴G₂的坐標為（，）；

Ⅲ：當以BD為斜邊時，設(shè)G₃的坐標為（x，﹣x²+2x+3），

如圖，則BM=3﹣x，G₃M=﹣x²+2x+3，NG₃=4﹣（﹣x²+2x+3）=x²﹣2x+1，DN=1﹣x，

∵BG₃²+G₃D²=BD²，

即：BM²+G₃M²+NG₃²+DN²=BD²，

∴（3﹣x）²+（﹣x²+2x+3）²+（x²﹣2x+1）²+（1﹣x）²=20，

解得：x=1或3（均舍去），

綜上：點G的坐標為（﹣，）、（，）；