【題目】如圖1,在中,,,點(diǎn)邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn),重合).以為頂點(diǎn)作,射線邊于點(diǎn),過點(diǎn)交射線于點(diǎn),連接

1)求證:

2)當(dāng)時(shí)(如圖2),求的長;

3)點(diǎn)邊上運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在某個(gè)位置,使得?若存在,求出此時(shí)的長;若不存在,請說明理由.

【答案】1)詳見解析;(2;(3)點(diǎn)DBC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中,存在某個(gè)位置,使得DF=CF,此時(shí)BD=9

【解析】

1)利用等腰三角形的性質(zhì)有∠B=ACB,然后根據(jù)∠ADE+CDE=B+BAD,∠ADE=B即可得出∠BAD=CDE,則結(jié)論可證;

2)過點(diǎn)AAMBCM,設(shè),在中利用勾股定理求出k的值,然后利用等腰三角形三線合一求出BC的長度,然后證明△ABD∽△CBA,

,由此可求出DB的長度,最后再利用平行線分線段成比例有,即可求出AE的長度;

3)作FHBCH,AMBCMANFHN,首先證明四邊形AMHN為矩形,

則有∠MAN=90°,MH=AN,然后設(shè),在中利用勾股定理求出k的值,然后利用等腰三角形三線合一求出BC的長度,然后證明△AFN∽△ADM,

利用相似三角形的性質(zhì)可求出AN的長度,進(jìn)而求出CH的長度,再根據(jù)等腰三角形三線合一求出CD的長度,最后利用BD=BC-CD即可得出答案.

1)證明:∵AB=AC,

∴∠B=ACB,

∵∠ADE+CDE=B+BAD,∠ADE=B,

∴∠BAD=CDE,

∴△BAD∽△DCE

2)解:過點(diǎn)AAMBCM

,

∴設(shè) ,

解得(舍去)

AB=AC,AMBC,

BC=2BM=2×4k=16,

DEAB,

∴∠BAD=ADE,

∵∠ADE=B,∠B=ACB,

∴∠BAD=ACB,

∵∠ABD=CBA,

∴△ABD∽△CBA

,

,

DEAB,

,

3)點(diǎn)DBC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中,存在某個(gè)位置,使得DF=CF

理由:作FHBCH,AMBCM,ANFHN

FHBC,AMBC,ANFH,

∴∠NHM=AMH=ANH=90°,

∴四邊形AMHN為矩形,

∴∠MAN=90°MH=AN,

ANFH,AMBC,

∴∠ANF=90°=AMD,

∵∠DAF=90°=MAN,

∴∠NAF=MAD,

∴△AFN∽△ADM

,

,

CH=CM-MH=CM-AN=8-=,

當(dāng)DF=CF時(shí),由點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合,可知△DFC為等腰三角形,

FHDC,

CD=2CH=7,

BD=BC-CD=16-7=9,

∴點(diǎn)DBC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中,存在某個(gè)位置,使得DF=CF,此時(shí)BD=9

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