【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑為1的⊙A的圓心與坐標(biāo)原點O重合,線段BC的端點分別在x軸與y軸上,點B的坐標(biāo)為(6,0),且sin∠OCB=

(1)若點Q是線段BC上一點,且點Q的橫坐標(biāo)為m.
①求點Q的縱坐標(biāo);(用含m的代數(shù)式表示)
②若點P是⊙A上一動點,求PQ的最小值;
(2)若點A從原點O出發(fā),以1個單位/秒的速度沿折線OBC運動,到點C運動停止,⊙A隨著點A的運動而移動.
①點A從O→B的運動的過程中,若⊙A與直線BC相切,求t的值;
②在⊙A整個運動過程中,當(dāng)⊙A與線段BC有兩個公共點時,直接寫出t滿足的條件.

【答案】
(1)解:①∵點B的坐標(biāo)為(6,0),tan∠OCB= ,

∴BC=10,OC=8,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

,

解得 ,

∵點Q的橫坐標(biāo)為m,

∴點Q的縱坐標(biāo)為﹣ m+8;

②如圖1,作OQ⊥AB交⊙A于P,則此時PQ最小,

×AB×OQ= ×BO×CO,

解得,OQ=4.8,

∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8;


(2)解:①如圖2,⊙A與直線BC相切于H,

則AH⊥BC,又∠BOC=90°,

∴△BHA∽△BOC,

,即 ,

解得,BA= ,

則OA=6﹣ =

∴t= 時,⊙A與直線BC相切;

②由(2)①得,t= 時,⊙A與直線BC相切,

當(dāng)t=5時,⊙A經(jīng)過點B,

當(dāng)t=7時,⊙A經(jīng)過點B,

當(dāng)t=15時,⊙A經(jīng)過點C,

<t≤5或7≤t≤15時,⊙A與線段BC有兩個公共點.


【解析】(1)①根據(jù)待定系數(shù)法確定直線BC的解析式,即寫出Q點的縱坐標(biāo)。②作OQ⊥AB交⊙A于P,則此時PQ最小,根據(jù)兩點之間線段最短進(jìn)行分析。
(2)①根據(jù)相切得垂直,即可得出△BHA∽△BOC,然后求出AB的長,得OA的長,即可得出時間t;②由點動帶動圖形動,對題意進(jìn)行分析,有兩個交點即分類型討論,由正好一個交點,過渡到正好兩個交點的方式思考。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識點,需要掌握確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;直線與圓有三種位置關(guān)系:無公共點為相離;有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線;圓與直線有唯一公共點為相切,這條直線叫做圓的切線,這個唯一的公共點叫做切點才能正確解答此題.

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